Risoluzione di limite di funzione
Salve a tutti.
Mi ritrovo, nello studio di una funzione, a risolvere il seguente limite:
$lim_(x->(-1/sqrt(2))^+-)(x^2+2x)/(2x^2-1)$
Mi ci sto sbattendo la testa da molto ma non capisco davvero come ha fatto il prof a risolverlo!
Non voglio il risultato ma qualche anima pia che mi "inoltri" verso il procedimento corretto, dato che
di questi limiti ne ho visti abbastanza negli esercizi. So che è una stupidagine perche il prof non ha
messo neanche i passaggi, ma anche se elementare non riesco a risolverlo
Mi ritrovo, nello studio di una funzione, a risolvere il seguente limite:
$lim_(x->(-1/sqrt(2))^+-)(x^2+2x)/(2x^2-1)$
Mi ci sto sbattendo la testa da molto ma non capisco davvero come ha fatto il prof a risolverlo!
Non voglio il risultato ma qualche anima pia che mi "inoltri" verso il procedimento corretto, dato che
di questi limiti ne ho visti abbastanza negli esercizi. So che è una stupidagine perche il prof non ha
messo neanche i passaggi, ma anche se elementare non riesco a risolverlo
Risposte
Questo limite è immediato perchè non ci sono forme indeterminate.
Cioè, non hai $0/0$ o $oo/oo$, quindi puoi concludere semplicemente sostituendo il valore $-1/sqrt2$ ad $x$
Cioè, non hai $0/0$ o $oo/oo$, quindi puoi concludere semplicemente sostituendo il valore $-1/sqrt2$ ad $x$
ma se sostituisco la x con il valore limite al denominatore non trovo $0$?
E' sbagliato o no?
E' sbagliato o no?
Sì, trovi $0$. E dunque puoi concludere che....
Se non ci arrivi prova a rispondere a questa domanda: quanto fa $lim_(x->0^+) 1/x$?
(anche qua a denominatore trovi $0$)
Se non ci arrivi prova a rispondere a questa domanda: quanto fa $lim_(x->0^+) 1/x$?
(anche qua a denominatore trovi $0$)
"Gi8":
Sì, trovi $0$. E dunque puoi concludere che....
Se non ci arrivi prova a rispondere a questa domanda: quanto fa $lim_(x->0^+) 1/x$?
(anche qua a denominatore trovi $0$)
$infty$!!!!
EDIT:
Ma scusa quindi applico un cambio di variabile?
Esatto. Chiaro ora?
Ma scusa quindi applico un cambio di variabile?
Perchè vuoi applicare una sostituzione ?
Hai una cosa tipo $a/b$ dove a è un numero "tranquillo" che so' 3, 10, 40.
b tende a zero. Cosa fara mai $a/b$ ?
Hai una cosa tipo $a/b$ dove a è un numero "tranquillo" che so' 3, 10, 40.
b tende a zero. Cosa fara mai $a/b$ ?
"Quinzio":
Perchè vuoi applicare una sostituzione ?
Hai una cosa tipo $a/b$ dove a è un numero "tranquillo" che so' 3, 10, 40.
b tende a zero. Cosa fara mai $a/b$ ?
Si come ragionamento non fa una grinza ma ho trovato adesso lo svolgimento del prof
e mi ha lasciato con piu dubbi di prima
$lim_(x->-1/sqrt(2))((x^2+2x)/(2x^2-1)) = (1/2-sqrt(2)+o(1))/((-2+o(1))(sqrt(2)x+1)) = ((2sqrt(2)-1)/4)(1/(sqrt(2)x+1))(1+o(1))$
e il tutto tende a $infty$
Io adesso mi trovo bene nel tuo ragionamento (e di Gi8), ovvero al numeratore ho un numero e al denominatore un qualcosa che tende a 0 perciò il risultato deve essere infinito. Ma chi mi riesce a spiegare i passaggi effettuati dal prof? non sostituisci il valore limite alla x!!!
$lim_(x -> -1/sqrt(2)) x^2 + 2x = 1/2 - 2/(sqrt(2))$
Ovvero $x^2 + 2x = 1/2 - 2/(sqrt(2)) + o(1)$ , con $lim_(x -> -1/sqrt(2) ) o(1) = 0$
Analogamente sotto... $2x^2 - 1 = (sqrt(2) x - 1)*( sqrt(2) x + 1)$
$lim_(x -> -1/sqrt(2)) sqrt(2) x - 1 = -2$ da cui $sqrt(2) x - 1 = -2 + o(1)$
Quindi il tuo limite diviene:
$lim_(x -> -1/sqrt(2)) (x^2 + 2x )/(2x^2 - 1) = lim_(x -> -1/sqrt(2)) (1/2 - 2/(sqrt(2)) + o(1))/((-2 + o(1))*( sqrt(2) x + 1))$
Ovvero $x^2 + 2x = 1/2 - 2/(sqrt(2)) + o(1)$ , con $lim_(x -> -1/sqrt(2) ) o(1) = 0$
Analogamente sotto... $2x^2 - 1 = (sqrt(2) x - 1)*( sqrt(2) x + 1)$
$lim_(x -> -1/sqrt(2)) sqrt(2) x - 1 = -2$ da cui $sqrt(2) x - 1 = -2 + o(1)$
Quindi il tuo limite diviene:
$lim_(x -> -1/sqrt(2)) (x^2 + 2x )/(2x^2 - 1) = lim_(x -> -1/sqrt(2)) (1/2 - 2/(sqrt(2)) + o(1))/((-2 + o(1))*( sqrt(2) x + 1))$
"Seneca":
Analogamente sotto... $2x^2 - 1 = (sqrt(2) x - 1)*( sqrt(2) x + 1)$
$lim_(x -> -1/sqrt(2)) sqrt(2) x - 1 = -2$ da cui $sqrt(2) x - 1 = -2 + o(1)$
...
Perche al denominatore scomponi in $(sqrt(2) x - 1)*( sqrt(2) x + 1)$ ??
Se vado a sostituire la x con $-1/sqrt(2)$ ottengo:
$2x^2 - 1 = 2(-1/sqrt(2))^2-1 = 2(1/2)-1 = 1-1 = 0$
Il tuo procedimento è giusto perchè è identico a quello del mio prof sono io che non ci arrivo...mi potresti
far capire perchè hai scomposto $2x^2-1$?? non è la stessa cosa?
Se si allora il mio procedimento è ugualmente giusto e quindi mi metto l'anima in pace!
Ti ho solo spiegato come l'ha risolto il tuo professore. Io non avrei scomposto; non c'è neanche una forma di indeterminazione da sbrogliare invero...
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