Risoluzione di integrale
Ho il seguente integrale da risolvere
$ int sinx*cos^2x*dx $
Me lo scrivo nella forma $ int sinx*cosx*cosx*dx $
Poi posso usare l'identità $ sin(alpha)*cos(beta)=1/2[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)] $ con $ alpha=x $ e $ beta=x $ ottenendo quindi un integrale del tipo $ 1/2 int sin2x*cosx*dx $ che talvolta posso trasformare riutilizzando l'identità di prima con $ alpha=2x $ e $ beta=x $ ottenendo $ 1/4*int sin3x*dx+1/4*int sinx*dx $ Il primo integrale posso scriverlo come $ 1/3*int 3*sin3x*dx=-1/3cos3x $ mentre il secondo è immediato. In definitiva si ha :
$ [-1/12cos3x-1/4cosx]_(pi/4)^(pi/2) $.
Potreste dirmi se è corretto il procedimento ???? Non credo perchè il risultato non è uguale a quello riportato sul testo !
$ int sinx*cos^2x*dx $
Me lo scrivo nella forma $ int sinx*cosx*cosx*dx $
Poi posso usare l'identità $ sin(alpha)*cos(beta)=1/2[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)] $ con $ alpha=x $ e $ beta=x $ ottenendo quindi un integrale del tipo $ 1/2 int sin2x*cosx*dx $ che talvolta posso trasformare riutilizzando l'identità di prima con $ alpha=2x $ e $ beta=x $ ottenendo $ 1/4*int sin3x*dx+1/4*int sinx*dx $ Il primo integrale posso scriverlo come $ 1/3*int 3*sin3x*dx=-1/3cos3x $ mentre il secondo è immediato. In definitiva si ha :
$ [-1/12cos3x-1/4cosx]_(pi/4)^(pi/2) $.
Potreste dirmi se è corretto il procedimento ???? Non credo perchè il risultato non è uguale a quello riportato sul testo !
Risposte
mi risulta proprio di sì, è corretto.
Tu dici che il tuo risultato è diverso perchè ti viene fuori un integrale definito (ossia un numero) diverso?
Tu dici che il tuo risultato è diverso perchè ti viene fuori un integrale definito (ossia un numero) diverso?
Scusami ho mancato una x nella traccia ecco perchè cambiava il risultato però il procedimento è giusto !!! grazie della risp !!
L'integrale è elementare e si risolve in due passaggi.
Infatti:
[tex]$\int \sin x\ \cos^2 x\ \text{d} x =-\frac{1}{3}\ \cos^3 x +c$[/tex],
in quanto [tex]$-\sin x$[/tex] è la derivata di [tex]$\cos x$[/tex] e quindi si è grossomodo nella situazione buona per applicare la formula:
[tex]$\int f^\prime (x)\ f^\alpha (x)\ \text{d} x=\frac{1}{\alpha +1}\ f^{\alpha +1} (x) +c$[/tex]
(ove [tex]$\alpha \neq -1$[/tex]).
Infatti:
[tex]$\int \sin x\ \cos^2 x\ \text{d} x =-\frac{1}{3}\ \cos^3 x +c$[/tex],
in quanto [tex]$-\sin x$[/tex] è la derivata di [tex]$\cos x$[/tex] e quindi si è grossomodo nella situazione buona per applicare la formula:
[tex]$\int f^\prime (x)\ f^\alpha (x)\ \text{d} x=\frac{1}{\alpha +1}\ f^{\alpha +1} (x) +c$[/tex]
(ove [tex]$\alpha \neq -1$[/tex]).
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