Risoluzione dettagliata serie con parametro

[winged_warrior]

$ sum_(n = 1)^(+ oo) (n^2+n^(3x))/(n^4 + n^(1-2x)) $

[_luca.barletta]

Richiesta? Tuo tentativo di soluzione?

[winged_warrior]

"luca.barletta":Richiesta? Tuo tentativo di soluzione?

guarda io la saprei risolvere se solo riuscissi a capire da dove cominciare.. forse piu di una soluzione dettagliata è meglio che mi dai il via.. secondo te da dove devo cominciare??

[_luca.barletta]

Comincerei col classificarla e a dire per quali $x$ è verificata la condizione necessaria per la convergenza.

[winged_warrior]

"luca.barletta":Comincerei col classificarla e a dire per quali $x$ è verificata la condizione necessaria per la convergenza.

cosa intendi per classificarla??

[_luca.barletta]

come sono fatti i termini della serie: se sono tutti positivi, tutti negativi, a segni alterni, a segni qualsiasi...

[winged_warrior]

"luca.barletta":come sono fatti i termini della serie: se sono tutti positivi, tutti negativi, a segni alterni, a segni qualsiasi...

è una serie a termini tutti positivi.. per la condizione necessaria per la convergenza trovo difficoltà, nel senso, come faccio a riconoscere da quali x devo partire??

[_luca.barletta]

devi valutare il limite per $n\rightarrow\infty$ del termine generico della serie, che dipende da $x$. $x$ lo lasci come parametro e vedi qual è il risultato del limite al variare di $x$.

Oltretutto nel testo dell'esercizio non hai detto quali sono i valori che può assumere $x$.

[winged_warrior]

"luca.barletta":devi valutare il limite per $n\rightarrow\infty$ del termine generico della serie, che dipende da $x$. $x$ lo lasci come parametro e vedi qual è il risultato del limite al variare di $x$.

Oltretutto nel testo dell'esercizio non hai detto quali sono i valori che può assumere $x$.

$ x in RR $ e cmq non so proprio come studiare il limite è quella la mia difficoltà

[_luca.barletta]

Di sicuro si può dire che sia il numeratore che il denominatore tendono a infinito, per qualunque valore di $x$. Dunque bisogna vedere quali sono i loro ordini di infinito.
In particolare, l'ordine di infinito per il numeratore è $N=\max{2,3x}$ e per il denominatore è $D=\max{4,1-2x}$.
Succede che il risultato del limite $l$ è
$l=\infty$ se $N>D$
$0 $l=0$ se $N
Ora devi solo individuare bene gli intervalli di $x$ per cui succede quanto detto sopra.

[winged_warrior]

"luca.barletta":Di sicuro si può dire che sia il numeratore che il denominatore tendono a infinito, per qualunque valore di $x$. Dunque bisogna vedere quali sono i loro ordini di infinito.
In particolare, l'ordine di infinito per il numeratore è $N=\max{2,3x}$ e per il denominatore è $D=\max{4,1-2x}$.
Succede che il risultato del limite $l$ è
$l=\infty$ se $N>D$
$0 $l=0$ se $N
Ora devi solo individuare bene gli intervalli di $x$ per cui succede quanto detto sopra.

Posso provare ponendo $x > 1$ e così sono sicuro che sopra l'ordine maggiore è $n^(3x)$ e sotto $n^4$ ??

[_luca.barletta]

"winged_warrior":
Posso provare ponendo $x > 1$ e così sono sicuro che sopra l'ordine maggiore è $n^(3x)$ e sotto $n^4$ ??

Così ti perdi qualcosa, deve essere $x>2/3$ per avere $N=3x$.

[winged_warrior]

"luca.barletta":[quote="winged_warrior"]
Posso provare ponendo $x > 1$ e così sono sicuro che sopra l'ordine maggiore è $n^(3x)$ e sotto $n^4$ ??

Così ti perdi qualcosa, deve essere $x>2/3$ per avere $N=3x$.[/quote]

svolgendo il limite posso dire che sicuramente per le $x > 4/3$ la serie diverge positivamente poichè la condizione necessaria non è soddisfatta..

edit: $x >= 4/3$ sorry

[_luca.barletta]

"winged_warrior":
svolgendo il limite posso dire che sicuramente per le $x > 4/3$ la serie diverge positivamente poichè la condizione necessaria non è soddisfatta..

edit: $x >= 4/3$ sorry

Esatto, questo nel caso in cui $D=4$. E se fosse $D=1-2x>4$?

[winged_warrior]

poi posso usare il confronto asintotico con la serie armonica, quindi $sum n^(3x)/n^4$ e pongo $4 - 3x <= 1$ e quindi so che per $x >= 1$ la serie diverge?? dimentico qualche particolare??

[winged_warrior]

il limite mi viene che per $x >= -1/2$ la condizione necessaria non è soddisfatta, giusto??

[_luca.barletta]

"winged_warrior":il limite mi viene che per $x >= -1/2$ la condizione necessaria non è soddisfatta, giusto??

a che caso ti riferisci?

[winged_warrior]

"luca.barletta":[quote="winged_warrior"]il limite mi viene che per $x >= -1/2$ la condizione necessaria non è soddisfatta, giusto??

a che caso ti riferisci?[/quote]

scusa la confusione..
mi riferisco al caso in cui $D = 1 - 2x > 4$

[_luca.barletta]

"winged_warrior":[quote="luca.barletta"][quote="winged_warrior"]il limite mi viene che per $x >= -1/2$ la condizione necessaria non è soddisfatta, giusto??

a che caso ti riferisci?[/quote]

scusa la confusione..
mi riferisco al caso in cui $D = 1 - 2x > 4$[/quote]

Attenzione che $1 - 2x > 4$ significa $x<-3/2$.

[winged_warrior]

"luca.barletta":Attenzione che $1 - 2x > 4$ significa $x<-3/2$.

e quindi vuol dire che in questo secondo caso è sempre soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza..

[_luca.barletta]

"winged_warrior":[quote="luca.barletta"]Attenzione che $1 - 2x > 4$ significa $x<-3/2$.

e quindi vuol dire che in questo secondo caso è sempre soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza..[/quote]

Esatto, adesso devi riordinare un po' il tutto mettendo insieme i diversi pezzi. Dopodiché ti concentri a studiare i casi in cui la serie potrebbe convergere.