Risoluzione derivata complessa

[federico.pomponii1]

Ciao a tutti, sto incontrando diversi problemi nella soluzione di una derivata. Pur avendo applicato, tutte le formule per la risoluzione di derivate razionali e composte, non riesco ad ottenere il risultato voluto. Grazie per l'aiuto

\( \ ((x^2-16)\setminus(x^2-25)) \times log(|(x^2-25)\setminus(x^2-16)|) \)

[Zero87]

Propongo un'idea, per non complicare troppo la risoluzione.

Ricordo che $D(g(f(x)) = g'(f(x))f'(x)$.

Chiamando $y = \frac{x^2-16}{x^2-25}$ la tua funzione diventa $y log|1/y|$ la cui derivata diventa $y'log|y| + y \cdot \frac{y}{|y|} \cdot (-\frac{1}{|y|^2}) \cdot |y| = y'log|y| - \frac{y^2}{|y|^2} = y'log|y| - 1$.

Poi si può fare una bella sostituzione all'indietro. Per l'ultima mi è venuto in mente che $y^2=|y|^2$ ma mi indispettisce molto questa cosa...

[seb1]

Sfrutto le sviste della comunque concettualmente giusta risoluzione di Zero87 per proporne una alternativa.

Anzitutto definiamo \(f(x)=1-(x+5)^{-1}\), \(y=-x\) e \(g(x,y)=f(x)f(y)\). Perciò dobbiamo calcolare la derivata totale rispetto a \(x\) di \(\varphi(x,y(x)):=-g(x,y)\ln{|g(x,y)|}\), che è data da:\[\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}(x,y)=\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial\varphi}{\partial x}-\frac{\partial\varphi}{\partial y}\]in cui \(\varphi_x\) è formalmente identica a \(\varphi_y\). Allora ci è sufficiente calcolare:\[\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-f'(x)f(y)(1+\ln{|g(x,y)|})=\frac{4-x}{(x+5)(x^2-25)}\left(1+\ln{\left|\frac{x^2-16}{x^2-25}\right|}\right)\]Concludendo:\[\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\frac{18x}{x^2-25}\left(1+\ln{\left|\frac{x^2-16}{x^2-25}\right|}\right)\]

[federico.pomponii1]

Grazie mille per l'aiuto..