Risoluzione dell'integrale definito di Fresnel
Salve, devo risolvere il seguente integrale:
$ int_(0)^(+oo) sen(x^2) dx $ .
So che è un'integrale con si può risolvere per "vie elementari", ma il libro mi da il seguente consiglio, che non sono riuscito a capire:
Su [0,1] la funzione è integrabile. Per studiare l'integrale su [1,+oo] valutare l'integrale su [1,a] eseguendo prima la sostituzione $ t=x^2 $ e poi un'integrazione per parti. Cosa succede per $ a->+oo $
1) Innanzitutto non capisco perchè suddivide l'intervallo in quei due sotto intervalli, cioè, in [0,1] a me non torna che la funzione sia integrabile!
2) E poi, applicando la sostituzione $ t=x^2 $ e applicando l'integrazione per parti si arriva a questa situazione:
$ int_(0)^(+oo) sen(x^2) dx = int_(0)^(+oo) (sen(t))/(2sqrt(t)) dt= sen(t)*sqrtt -int_(0)^(+oo) cos(t)*sqrt(t) dt $
Che mi darebbe un $ +oo-oo $ . Quindi non è stato molto utile il suggerimento del libro :S e non so cos'altro fare.
Controllando su poi wolhphram alpha mi dice che l'integrale converge!
Quindi non è che qualcuno saprebbe chiarirmi le idee? Grazie
$ int_(0)^(+oo) sen(x^2) dx $ .
So che è un'integrale con si può risolvere per "vie elementari", ma il libro mi da il seguente consiglio, che non sono riuscito a capire:
Su [0,1] la funzione è integrabile. Per studiare l'integrale su [1,+oo] valutare l'integrale su [1,a] eseguendo prima la sostituzione $ t=x^2 $ e poi un'integrazione per parti. Cosa succede per $ a->+oo $
1) Innanzitutto non capisco perchè suddivide l'intervallo in quei due sotto intervalli, cioè, in [0,1] a me non torna che la funzione sia integrabile!
2) E poi, applicando la sostituzione $ t=x^2 $ e applicando l'integrazione per parti si arriva a questa situazione:
$ int_(0)^(+oo) sen(x^2) dx = int_(0)^(+oo) (sen(t))/(2sqrt(t)) dt= sen(t)*sqrtt -int_(0)^(+oo) cos(t)*sqrt(t) dt $
Che mi darebbe un $ +oo-oo $ . Quindi non è stato molto utile il suggerimento del libro :S e non so cos'altro fare.
Controllando su poi wolhphram alpha mi dice che l'integrale converge!
Quindi non è che qualcuno saprebbe chiarirmi le idee? Grazie
Risposte
In $[0, 1]$ non hai alcun problema di integrabilità: stai integrando una funzione continua. Attenzione a non fare il vecchio errore di confondere "integrabile" con "avente una primitiva esprimibile per mezzo di funzioni elementari". In generale, non ti confondere tra integrale definito e integrale indefinito. Qui stai calcolando SOLO integrali definiti. Alla luce di questo, rivedi tutto quello che hai fatto e segui per bene il suggerimento del libro.
Cosa intendi con "risolvere l'integrale per vie elementari"? Che la funzione integranda sia Riemann-integrabile è essenzialmente conseguenza del criterio di Leibniz per la convergenza di serie numeriche (vedi sotto), mentre la determinazione del valore dell'integrale è faccenda più spinosa - generalmente si utilizza l'analisi complessa (il seno è parte immaginaria dell'esponenziale complesso), il Teorema di Fubini-Tonelli in $\mathbb{R}^2$ o una combinazione delle due cose per ricondursi all'integrale notevole:
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\Gamma(1/2)}{2} = \Gamma(3/2). \)
Tuttavia, puoi trovare qui http://math.stackexchange.com/questions/378012/trig-fresnel-integral una dimostraziona astuta del fatto che
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx = \sqrt{\frac{\pi}{8}} \)
che non utilizza tecniche multivariate o complesse, ma si riconduce con tecniche di analisi reale alla valutazione dell'integrale:
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^4}. \)
Quest'ultimo, a sua volta, è dato da un valore della funzione Beta di Eulero che può essere esplicitato facendo ricorso alla formula di riflessione per la funzione $\Gamma$.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tornando a bomba, poiché per la limitatezza del seno si ha:
\(\displaystyle \int_{0}^{M}\sin(x^2)dx = \int_{0}^{M^2}\frac{\sin x}{2\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{\pi\lfloor\frac{M^2}{\pi}\rfloor}\frac{\sin x}{2\sqrt{x}}\,dx + O\left(\frac{1}{M}\right), \)
per provare la Riemann-integrabilità del seno di $x^2$ è sufficiente provare che la successione:
\(\displaystyle a_n=\int_{0}^{\pi n}\frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}}dx \)
è una successione convergente. Come anticipato, ciò è conseguenza del criterio di Leibiniz, in quanto il segno della funzione seno sull'intervallo $(n\pi, (n+1)\pi)$ è il medesimo di $(-1)^n$ e posto:
\(\displaystyle b_n=\int_{\pi n}^{\pi(n+1)}\frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}}dx \)
si ha $|b_n|>|b_{n+1}|$, in quanto $|\sin(x+\pi)|=|\sin(x)|$ e la funzione $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ è decrescente.
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\Gamma(1/2)}{2} = \Gamma(3/2). \)
Tuttavia, puoi trovare qui http://math.stackexchange.com/questions/378012/trig-fresnel-integral una dimostraziona astuta del fatto che
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx = \sqrt{\frac{\pi}{8}} \)
che non utilizza tecniche multivariate o complesse, ma si riconduce con tecniche di analisi reale alla valutazione dell'integrale:
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^4}. \)
Quest'ultimo, a sua volta, è dato da un valore della funzione Beta di Eulero che può essere esplicitato facendo ricorso alla formula di riflessione per la funzione $\Gamma$.
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Tornando a bomba, poiché per la limitatezza del seno si ha:
\(\displaystyle \int_{0}^{M}\sin(x^2)dx = \int_{0}^{M^2}\frac{\sin x}{2\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{\pi\lfloor\frac{M^2}{\pi}\rfloor}\frac{\sin x}{2\sqrt{x}}\,dx + O\left(\frac{1}{M}\right), \)
per provare la Riemann-integrabilità del seno di $x^2$ è sufficiente provare che la successione:
\(\displaystyle a_n=\int_{0}^{\pi n}\frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}}dx \)
è una successione convergente. Come anticipato, ciò è conseguenza del criterio di Leibiniz, in quanto il segno della funzione seno sull'intervallo $(n\pi, (n+1)\pi)$ è il medesimo di $(-1)^n$ e posto:
\(\displaystyle b_n=\int_{\pi n}^{\pi(n+1)}\frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}}dx \)
si ha $|b_n|>|b_{n+1}|$, in quanto $|\sin(x+\pi)|=|\sin(x)|$ e la funzione $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ è decrescente.
Scusate ma non vi seguo molto 
Comunque sono al primo anno di ingegneria quindi ho fatto solo Analisi 1
dissonance: Hai ragione avevo confuso integrabile con non avere una primitiva esprimibile tramite funzioni elementari, e su questo ora mi sono fatto chiarezza riguardandolo.
Però per me l'integrale indefinito è una famiglia di funzioni a meno di una costante, cioè l'insieme di tutte le primitivi della funzione da integrare. L'integrale definito lo intendo come l'area del sotto grafico della funzione compresa tra i due estremi di integrazione. Però in ogni caso, per calcolare l'integrale definito devo passare per quello indefinito e poi valutare la primitiva tra i due estremi d'integrazione. Quindi in quale modo mi dovrebbe semplificare la cosa il fatto che qui è definito l'integrale?
elianto84: Mi sono espresso male, intendevo dire che non si può esprimere tramite funzioni elementari, comunque sinceramente non ho mai visto la funzione gamma, che nomina anche in quella discussione che mi hai linkato, ed anche nella seconda parte del messaggio non ho capito come hai fatto a fare $ int_(0)^(M) senx^2 dx= int_(0)^(M^2) (sen x)/sqrt(2x) dx $
Comunque sono al primo anno di ingegneria quindi ho fatto solo Analisi 1dissonance: Hai ragione avevo confuso integrabile con non avere una primitiva esprimibile tramite funzioni elementari, e su questo ora mi sono fatto chiarezza riguardandolo.
Però per me l'integrale indefinito è una famiglia di funzioni a meno di una costante, cioè l'insieme di tutte le primitivi della funzione da integrare. L'integrale definito lo intendo come l'area del sotto grafico della funzione compresa tra i due estremi di integrazione. Però in ogni caso, per calcolare l'integrale definito devo passare per quello indefinito e poi valutare la primitiva tra i due estremi d'integrazione. Quindi in quale modo mi dovrebbe semplificare la cosa il fatto che qui è definito l'integrale?
elianto84: Mi sono espresso male, intendevo dire che non si può esprimere tramite funzioni elementari, comunque sinceramente non ho mai visto la funzione gamma, che nomina anche in quella discussione che mi hai linkato, ed anche nella seconda parte del messaggio non ho capito come hai fatto a fare $ int_(0)^(M) senx^2 dx= int_(0)^(M^2) (sen x)/sqrt(2x) dx $
Ci sono tanti modi per calcolare esplicitamente un integrale, quello di trovare direttamente una primitiva è solo uno dei tanti. E comunque, in questo caso mi sa che non devi fare nessun calcolo esplicito: tu qui devi solo dimostrare che l'integrale converge. Mi sbaglio?
Questo fa parte di una serie di esercizi il cui testo dice di stabilire quali integrali esistono e in caso affermativo calcolarlo quando è possibile. Quindi seguendolo alla lettera, credo lo dovrei anche calcolare numericamente.
Ma scusa quali altre vie esistono per il calcolo di un'integrale? Ovviamente non ti chiedo di spiegarmele qua, ma non avendomene mai parlato sono curioso di andarmele a vedere
Ma scusa quali altre vie esistono per il calcolo di un'integrale? Ovviamente non ti chiedo di spiegarmele qua, ma non avendomene mai parlato sono curioso di andarmele a vedere
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