Risoluzione dell'integrale
Devo risolvere questo integrale:
$\int\frac{\frac{b+xd}{a+xc}}{1+(\frac{b+xd}{a+xc})^2}dx$.
La funzione integranda originale era:
$\frac{(a+xc)(b+xd)}{(a+xc)^2+(b+xd)^2}$,
ma mi sembrava che impostata come sopra potesse prestarsi meglio a eventuali sostituzioni...peccato che le mie sostituzioni non abbiano fatto altro che rendermelo più complicato.. Qualcuno mi può aiutare? Grazie!
$\int\frac{\frac{b+xd}{a+xc}}{1+(\frac{b+xd}{a+xc})^2}dx$.
La funzione integranda originale era:
$\frac{(a+xc)(b+xd)}{(a+xc)^2+(b+xd)^2}$,
ma mi sembrava che impostata come sopra potesse prestarsi meglio a eventuali sostituzioni...peccato che le mie sostituzioni non abbiano fatto altro che rendermelo più complicato.. Qualcuno mi può aiutare? Grazie!
Risposte
Forse ho sbagliato io a non dire che:
$c=cos\theta$ e $d=sin\theta$;
magari in questo modo si può semplificare qualcosa risolvendolo come integrale di una funzione razionale... l'integrale completo diventa:
$\int\frac{\frac{b+x sin\theta}{a+x cos\theta}}{1+(\frac{b+x sin\theta}{a+x cos\theta})^2}$.
Potreste anche solamente indicarmi una possibile sostituzione?
$c=cos\theta$ e $d=sin\theta$;
magari in questo modo si può semplificare qualcosa risolvendolo come integrale di una funzione razionale... l'integrale completo diventa:
$\int\frac{\frac{b+x sin\theta}{a+x cos\theta}}{1+(\frac{b+x sin\theta}{a+x cos\theta})^2}$.
Potreste anche solamente indicarmi una possibile sostituzione?
Proprio nessuno può aiutarmi? 
Facendo calcolare questo integrale al computer viene un integrale lunghissimo.
Un possibile modo, che però non sono sicuro sia semplicissimo da portare a termine, è porre $t = {b+xd}/{a+xc}$.
In questo modo ottieni ${y(cy-d)^2}/{(ad-bc)(1+y)^2$ che puoi espandere come ${d^2y}/{(ad-bc)(1+y)^2} - {2cdy^2}/{(ad-bc)(1+y)^2} + {c^2y^3}/{(ad-bc)(1+y)^2}$.
Il primo termine dà semplicemente un logaritmo, mentre per gli altri devi arrangiarti con un po' di riscritture e arcotangenti.
Un possibile modo, che però non sono sicuro sia semplicissimo da portare a termine, è porre $t = {b+xd}/{a+xc}$.
In questo modo ottieni ${y(cy-d)^2}/{(ad-bc)(1+y)^2$ che puoi espandere come ${d^2y}/{(ad-bc)(1+y)^2} - {2cdy^2}/{(ad-bc)(1+y)^2} + {c^2y^3}/{(ad-bc)(1+y)^2}$.
Il primo termine dà semplicemente un logaritmo, mentre per gli altri devi arrangiarti con un po' di riscritture e arcotangenti.
Siceramente ci ho provato, ma con tutti i parametri ad un certo punto mi viene un vero casino.
Si può procedere così:
Prima di tutto svolgi tutti i calcoli, viene un rapporto tra due funzioni di secondo grado, quindi bisogna fare la divisione, si ottiene una cosa tipo
$q+(kx+h)/(x^2+mx+n)$ dove $q$ è il quoziente della divisione e $kx+h$ il resto, mentre il denominatore è un polinomio di secondo grado con $Delta <0$
Adesso usando il metodo delle funzioni razionali fratte si deve spezzare la frazione in $(A*(2x+m))/(x^2+mx+n)+ B/(x^2+mx+n)$, qui la prima frazione si integra come $log(x^2+mx+n)$, mentre nella seconda c'è da effettuare la sostituzione per trasformarle nella forma $C*1/(t^2+1)$ in cui l'integrale è $arctg (t)$
Si può procedere così:
Prima di tutto svolgi tutti i calcoli, viene un rapporto tra due funzioni di secondo grado, quindi bisogna fare la divisione, si ottiene una cosa tipo
$q+(kx+h)/(x^2+mx+n)$ dove $q$ è il quoziente della divisione e $kx+h$ il resto, mentre il denominatore è un polinomio di secondo grado con $Delta <0$
Adesso usando il metodo delle funzioni razionali fratte si deve spezzare la frazione in $(A*(2x+m))/(x^2+mx+n)+ B/(x^2+mx+n)$, qui la prima frazione si integra come $log(x^2+mx+n)$, mentre nella seconda c'è da effettuare la sostituzione per trasformarle nella forma $C*1/(t^2+1)$ in cui l'integrale è $arctg (t)$
se moltiplichi il numeratore ed il denominatore dell'integrale iniziale $\int \frac{\frac{b+xd}{a+xc}}{1+\frac{b+xd}{a+xc}}dx$ per $(a+xc)^{2}$ scomponendo e poi raccogliendo le $x$ abbiamo $\int \frac{x^{2}(cd)+x(ad+bc)+(ab)}{x^{2}(c^{2}+d^{2})+x(2ac+2bd)+(a^{2}+b^{2})}dx$.
Poi non so come continuare, ma almeno ho provato a darti una mano..
Poi non so come continuare, ma almeno ho provato a darti una mano..
Grazie mille a tutti!
Io ho continuato a provare ieri sera applicando la sostituzione che mi avete indicato anche voi: $\beta=\frac{b+x sin\theta}{a+x cos\theta}$; semplificando un po' sono arrivata ad una formulazione di questo tipo:
$(a sin\theta-b cos\theta)\int\frac{\beta}{(1+\beta^2)(sin\theta-\beta cos\theta)^2}d\beta$,
che poi ho provato a risolvere con Matlab e con Mathematica.
Mi viene ancora una soluzione molto lunga, quindi credo che proverò a utilizzare o l'espansione o le funzioni razionali... sperando di riuscire a ridurlo ulteriormente. Devo inserirlo in un programma in Fortran in cui il calcolo verrà ripetuto qualche migliaio di volte e se non riesco a ridurre il numero di operazioni il mio programma non girerà mai... Grazie ancora!
Io ho continuato a provare ieri sera applicando la sostituzione che mi avete indicato anche voi: $\beta=\frac{b+x sin\theta}{a+x cos\theta}$; semplificando un po' sono arrivata ad una formulazione di questo tipo:
$(a sin\theta-b cos\theta)\int\frac{\beta}{(1+\beta^2)(sin\theta-\beta cos\theta)^2}d\beta$,
che poi ho provato a risolvere con Matlab e con Mathematica.
Mi viene ancora una soluzione molto lunga, quindi credo che proverò a utilizzare o l'espansione o le funzioni razionali... sperando di riuscire a ridurlo ulteriormente. Devo inserirlo in un programma in Fortran in cui il calcolo verrà ripetuto qualche migliaio di volte e se non riesco a ridurre il numero di operazioni il mio programma non girerà mai... Grazie ancora!
Sono riuscita ad ottenere una soluzione operando in questo modo. Posto:
$\beta=\frac{b+d sin\theta}{a+c cos\theta}$,
semplifico l'integrale come:
$(a sin\theta-b cos\theta)\int\frac{\beta}{(1+\beta^2)(sin\theta-\beta cos\theta)^2}d\beta$.
Usando la formula per l'integrale di una funzione razionale trasformo la funzione come:
$\frac{\beta}{(1+\beta^2)(sin\theta-\beta cos\theta)^2}=\frac{A}{sin\theta-\beta cos\theta}+\frac{B}{(sin\theta-\beta cos\theta)^2}+\frac{C\beta+D}{1+\beta^2}$.
Risolvo il sistema di quattro equazioni in quattro incognite (A,B,C,D) e ottengo quattro integrali distinti. Le soluzioni sono sempre un po' complicate ma è l'unica cosa che sono riuscita a fare... pensate possa andar bene? E' giusto il procedimento?
L'integrale finale in funzione della variabile $\beta$ è di questo tipo:
$(a sin\theta-b cos\theta)[\int\frac{-cos^3\theta+cos\theta sin\theta}{sin\theta-\beta cos\theta}d\beta+\int\frac{cos\theta sin\theta}{(sin\theta-\beta cos\theta)^2}d\beta-\int\frac{cos 2\theta \beta}{1+\beta^2}d\beta-\int\frac{2 cos\theta sin\theta}{1+\beta^2}d\beta]$.
$\beta=\frac{b+d sin\theta}{a+c cos\theta}$,
semplifico l'integrale come:
$(a sin\theta-b cos\theta)\int\frac{\beta}{(1+\beta^2)(sin\theta-\beta cos\theta)^2}d\beta$.
Usando la formula per l'integrale di una funzione razionale trasformo la funzione come:
$\frac{\beta}{(1+\beta^2)(sin\theta-\beta cos\theta)^2}=\frac{A}{sin\theta-\beta cos\theta}+\frac{B}{(sin\theta-\beta cos\theta)^2}+\frac{C\beta+D}{1+\beta^2}$.
Risolvo il sistema di quattro equazioni in quattro incognite (A,B,C,D) e ottengo quattro integrali distinti. Le soluzioni sono sempre un po' complicate ma è l'unica cosa che sono riuscita a fare... pensate possa andar bene? E' giusto il procedimento?
L'integrale finale in funzione della variabile $\beta$ è di questo tipo:
$(a sin\theta-b cos\theta)[\int\frac{-cos^3\theta+cos\theta sin\theta}{sin\theta-\beta cos\theta}d\beta+\int\frac{cos\theta sin\theta}{(sin\theta-\beta cos\theta)^2}d\beta-\int\frac{cos 2\theta \beta}{1+\beta^2}d\beta-\int\frac{2 cos\theta sin\theta}{1+\beta^2}d\beta]$.
Dopo un po' di semplificazioni sono riuscito a scrivere la soluzione del metodo che proponevo in maniera relativamente semplice.
Viene ${bc-ad}/{c^2+d^2}(d/{ct-d} + {2cd\arctant}/{c^2+d^2} - {(c^2-d^2)\ln[{(ct-d)^2}/{1+t^2}]}/{2(c^2+d^2)})$, dove $t = {b+dx}/{a+cx}$.
Non sono però totalmente sicuro del risultato, ti conviene controllare con un esempio numerico.
Viene ${bc-ad}/{c^2+d^2}(d/{ct-d} + {2cd\arctant}/{c^2+d^2} - {(c^2-d^2)\ln[{(ct-d)^2}/{1+t^2}]}/{2(c^2+d^2)})$, dove $t = {b+dx}/{a+cx}$.
Non sono però totalmente sicuro del risultato, ti conviene controllare con un esempio numerico.
Mi rivolgo a Eredir. Ho provato a fare come hai detto tu ma non riesco a semplificare come dici. Io impongo:
$t=\frac{b+x f}{a+x c}$,
ora derivo $t$ rispetto a $x$:
$\frac{dt}{dx}=\frac{f(a+x c)-c(b+x f)}{(a+x c)^2}=\frac{f a+ c f x-b c-c f x}{(a+x c)^2}=\frac{a f-b c}{(a+c x)^2}$.
Quindi ho:
$dx=\frac{(a+c x)^2}{a f-b c}dt$.
Ora mi ricavo la $x$ come:
$t(a+c x)=b+f x$,
$x(f-c t)=a t-b$,
$x=\frac{a t-b}{f-c t}$.
Sostituisco all'interno dell'espressione di $dx$ in modo tale da esprimere tutto in funzione di $t$ e ottengo:
$dx=\frac{(a+c \frac{a t-b}{f-c t})^2}{a f-b c}dt=\frac{\frac{(a f-a c t+a c t-c b)^2}{(f-c t)^2}}{a f-b c}dt=\frac{a f-c b}{(f - c t)^2}dt$.
Ora se sostituisco tutto nell'integrale di partenza io ottengo:
$\int\frac{(a f -c b)t}{(f-c t)^2(1+t^2)}dt$,
che è diverso da quello che hai ottenuto tu e che non mi permette di semplificare come dici... Ho sbagliato qualcosa?
$t=\frac{b+x f}{a+x c}$,
ora derivo $t$ rispetto a $x$:
$\frac{dt}{dx}=\frac{f(a+x c)-c(b+x f)}{(a+x c)^2}=\frac{f a+ c f x-b c-c f x}{(a+x c)^2}=\frac{a f-b c}{(a+c x)^2}$.
Quindi ho:
$dx=\frac{(a+c x)^2}{a f-b c}dt$.
Ora mi ricavo la $x$ come:
$t(a+c x)=b+f x$,
$x(f-c t)=a t-b$,
$x=\frac{a t-b}{f-c t}$.
Sostituisco all'interno dell'espressione di $dx$ in modo tale da esprimere tutto in funzione di $t$ e ottengo:
$dx=\frac{(a+c \frac{a t-b}{f-c t})^2}{a f-b c}dt=\frac{\frac{(a f-a c t+a c t-c b)^2}{(f-c t)^2}}{a f-b c}dt=\frac{a f-c b}{(f - c t)^2}dt$.
Ora se sostituisco tutto nell'integrale di partenza io ottengo:
$\int\frac{(a f -c b)t}{(f-c t)^2(1+t^2)}dt$,
che è diverso da quello che hai ottenuto tu e che non mi permette di semplificare come dici... Ho sbagliato qualcosa?
Hai ragione, ho fatto un errore nella sostituzione dell'elemento differenziale nel primo post.
In ogni caso il secondo risultato l'ho ricavato direttamente facendo calcolare l'integrale a Mathematica e semplificando, quindi è più difficile che ci abbia messo qualche errore.
In ogni caso il secondo risultato l'ho ricavato direttamente facendo calcolare l'integrale a Mathematica e semplificando, quindi è più difficile che ci abbia messo qualche errore.
Non ti preoccupare e grazie comunque! 
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