Risoluz. studio di funzione derivante da un prob. di Cauchy
ciao ragazzi ho mandato questa mail alla mia prof ma ancora non mi risponde
potreste aiutarmi voi nel frattempo??? grazie
spero che sia chiaro quello che vorrei capire...ciao grazie
potreste aiutarmi voi nel frattempo??? grazie
Gentile prof.ssa (...)
mi scuso se le sto recando disturbo, ma ho bisogno di capire bene quella cosa che mi ha spiegato oggi a ricevimento sul procedimento che risolve l'esercizio finale del problema di cauchy seguente:
A SISTEMA: $y'= (x+4)/(cos(y))$ e $y(0)= pi$ (quindi con x=0)
(a) non è limitata inferiormente ed è definita in un intervallo limitato
(b) soddisfa altro
(c) non è strettamente decrescente ed è definita in un intervallo non limitato
(d) è strettamente decrescente e definita in un intervallo limitato
ora dopo gli opportuni ragionamenti abbiamo detto che giungiamo alla formula $y=pi - arcsin[(x^2)/(2) + 4x]$ che difatti verifica la condizione iniziale $y(0)=pi$
poi, lei ha detto che per risolvere l'esercizio bisogna andare a calcolarsi il dominio della funzione (cosa che io ho fatto, spero senza errori)
per cui, dato che l'arcoseno è definito tra [-1;1] a valori in [-pigreco/2;pigreco/2] sono andato a porre $x^2/2+4x$ tra $-1$ e $1$ e svolgendo il sistema
giungo a queste soluzioni
$-4-sqrt(18)< x < -4-sqrt(14)$ V $-4+sqrt(14) < x < -4+sqrt(18)$ (con < intendo minore o uguale)
ma se questo è il dominio, allora la funzione non passa per x=0.........in cosa sbaglio????
e inoltre...dopo aver trovato queste soluzioni, a cosa servono ai fini delle risposte dell'esercizio??? dal dominio capisco solo se è definita in un intervallo limitato o illimitato ma come faccio a sapere dal solo calcolo del dominio se è crescente, decrescente, limitata inferiormente o superiormente????
PS. potrebbe indicarmi la risposta del seguente esercizio cosi capisco meglio
attendo sue risposte e la ringrazio in anticipo
Cordiali saluti
spero che sia chiaro quello che vorrei capire...ciao grazie
Risposte
Mi pare che se studi la disequazione $-1\leq x^2 /2 +4x\leq1$ lo zero lo devi trovare !!!.
In effetti $x^2 /2 +4x\leq1$ equivale a $x^2 +8x-2\leq0$ e cioe' $x\in[-4-\sqrt{18},-4+\sqrt{18}]$, mentre
$-1\leq x^2 /2 +4x$ equivale a $x^2 +8x+2\geq0$, e cioe' $x$ fuori da $]-4-\sqrt{14},-4+\sqrt{14}[$.
Nota che $-4-\sqrt{18}<-4-\sqrt{14}<-4+\sqrt{14}<0<-4+\sqrt{18}$ per cui
$[-4-\sqrt{14},-4+\sqrt{14}]\setminus ]-4-\sqrt{14},-4+\sqrt{14}[=[-4-\sqrt{18},-4-\sqrt{14}]\cup[ -4+\sqrt{14},-4+\sqrt{18}]$
Il secondo di questi intervalli, cioe' $[ -4+\sqrt{14},-4+\sqrt{18}]$, contiene zero e dunque e' il dominio della soluzione che parte da $x=0$.
In effetti $x^2 /2 +4x\leq1$ equivale a $x^2 +8x-2\leq0$ e cioe' $x\in[-4-\sqrt{18},-4+\sqrt{18}]$, mentre
$-1\leq x^2 /2 +4x$ equivale a $x^2 +8x+2\geq0$, e cioe' $x$ fuori da $]-4-\sqrt{14},-4+\sqrt{14}[$.
Nota che $-4-\sqrt{18}<-4-\sqrt{14}<-4+\sqrt{14}<0<-4+\sqrt{18}$ per cui
$[-4-\sqrt{14},-4+\sqrt{14}]\setminus ]-4-\sqrt{14},-4+\sqrt{14}[=[-4-\sqrt{18},-4-\sqrt{14}]\cup[ -4+\sqrt{14},-4+\sqrt{18}]$
Il secondo di questi intervalli, cioe' $[ -4+\sqrt{14},-4+\sqrt{18}]$, contiene zero e dunque e' il dominio della soluzione che parte da $x=0$.
"mikelozzo":
$-4-sqrt(18)< x < -4-sqrt(14)$ V $-4+sqrt(14) < x < -4+sqrt(18)$ (con < intendo minore o uguale)
ma se questo è il dominio, allora la funzione non passa per x=0.........in cosa sbaglio????
mi scuso per l'errore madornale che ho commesso non accorgendomi che $-4+sqrt(14) < x < -4+sqrt(18)$ contiene la soluzione $x=0$ in quanto $sqrt(18)$ è maggiore di -4 (il mio cervello è davvero fuso...sigh!!)
tuttavia la prof mi ha appena risposto con tali parole che ho capito solo per metà
Il dominio della funzione y(x) è l’unione dei due intervalli da lei trovati.
La soluzione dell’equazione differenziale è definita nell’intervallo
-4+\sqrt{14} < x < -4 +\sqrt{18}
che contiene la condizione iniziale x=0.
Su tale intervallo
0< \sqrt{14} < x+4 < \sqrt{18}
pertanto confrontando con l’espressione di y’ ottiene subito il segno della derivata della soluzione visto che conosce il segno di (x+4) (avendo determinato il dominio della soluzione) e di cos(y) (da prima di trovare la soluzione).
per la soluzione $x=0$ contenuta nell'intevallo OK....ma i segni da dove sono usciti fuori??? da cosa li ha ricavati???? per altro dice che il segno del coseno era gia disponibile dall'inizio e quello di $x+4$ lo si ricava dal dominio......
Help!!!!
Per quanto riguarda il segno di $x+4$ mi pare evidente che sia positivo essendo $x\in[-4+\sqrt{14} , -4 +\sqrt{18}]$.
Per il $cos(y)$, credo, che la questione sia automatica per la definizione di dominio. Voglio dire che, se parti da $y(0)=\pi>0$, il dominio
di $y(x)$ dovrebbe essere il piu' grande intervallo contenente lo zero per cui puoi risolvere l'equazione. Se e' cosi', in questo intervallo
$cos(y(x))$ non puo' passare da zero (altrimenti l'equazione perderebbe senso) e quindi $cos(y(x))$ deve rimanere positivo.
Per il $cos(y)$, credo, che la questione sia automatica per la definizione di dominio. Voglio dire che, se parti da $y(0)=\pi>0$, il dominio
di $y(x)$ dovrebbe essere il piu' grande intervallo contenente lo zero per cui puoi risolvere l'equazione. Se e' cosi', in questo intervallo
$cos(y(x))$ non puo' passare da zero (altrimenti l'equazione perderebbe senso) e quindi $cos(y(x))$ deve rimanere positivo.
"ViciousGoblinEnters":
Per quanto riguarda il segno di $x+4$ mi pare evidente che sia positivo essendo $x\in[-4+\sqrt{14} , -4 +\sqrt{18}]$.
in che senso?? allora, il segno di una funzione sta a significare l'andamento del grafico, se è crescente in un dato intervallo o se è decrescente??
ma se è cosi, non dovrei porre $y'$ maggiore-uguale a 0 per vedere la crescenza e decrescenza??? come posso ricavarlo direttamente dal dominio vedendo solo l'intervallo in cui è definita la funzione??? cioè io cosi vedo solo se è definita in un dato intervallo, ma non se è crescente o meno......c'è decisamente qualcosa che mi sfugge...
"ViciousGoblinEnters":
se parti da $y(0)=\pi>0$, il dominio
di $y(x)$ dovrebbe essere il piu' grande intervallo contenente lo zero per cui puoi risolvere l'equazione. Se e' cosi', in questo intervallo
$cos(y(x))$ non puo' passare da zero (altrimenti l'equazione perderebbe senso) e quindi $cos(y(x))$ deve rimanere positivo.
ma allora se al denominatore c'è il coseno non puo mai essere negativo il segno (ammenocchè non lo sia al numeratore).......e nel caso al denominatore ci fosse il seno o la tangente???
non capisco....mannaggia!!!!!
"mikelozzo":
[quote="ViciousGoblinEnters"]Per quanto riguarda il segno di $x+4$ mi pare evidente che sia positivo essendo $x\in[-4+\sqrt{14} , -4 +\sqrt{18}]$.
in che senso?? allora, il segno di una funzione sta a significare l'andamento del grafico, se è crescente in un dato intervallo o se è decrescente??
ma se è cosi, non dovrei porre $y'$ maggiore-uguale a 0 per vedere la crescenza e decrescenza??? come posso ricavarlo direttamente dal dominio vedendo solo l'intervallo in cui è definita la funzione??? cioè io cosi vedo solo se è definita in un dato intervallo, ma non se è crescente o meno......c'è decisamente qualcosa che mi sfugge...
"ViciousGoblinEnters":
se parti da $y(0)=\pi>0$, il dominio
di $y(x)$ dovrebbe essere il piu' grande intervallo contenente lo zero per cui puoi risolvere l'equazione. Se e' cosi', in questo intervallo
$cos(y(x))$ non puo' passare da zero (altrimenti l'equazione perderebbe senso) e quindi $cos(y(x))$ deve rimanere positivo.
ma allora se al denominatore c'è il coseno non puo mai essere negativo il segno (ammenocchè non lo sia al numeratore).......e nel caso al denominatore ci fosse il seno o la tangente???
non capisco....mannaggia!!!!!
[/quote]Tieni presente che $y(x)$ risolve l'equazione differenziale e quindi ha delle proprieta' che derivano dall'essere soluzione. Volendo potresti anche fare uno studio di funzione partendo dall'espressione
trovata - ma di solito e' piu' comodo usare l'equazione.
Io non ho seguito i calcoli che hai fatto per arrivare all'espressione fornita e mi sono fidato che i calcoli fossero giusti. Se il dominio e' effettivanmente
l'intervallo scritto sopra, allora non mi pare ci siano dubbi sul fatto che $x+4\geq0$ in quell'intervallo.
Effettivamente se hai un'equazione del tipo $y'=\frac{B(x)}{A(y)}$, con $A$ e $B$ continue, questa puo' cambiare monotonia solo nelle $x$ in cui $B(x)=0$, mentre $A(y(x))$ deve avere segno costante.
ma come si attua il procedimento esatto....è quello che vorrei??
$-4+sqrt(14)<=(x+4)<=-4+sqrt(18)$
da cui $-8+sqrt(14)<=x<=-8+sqrt(18)$
che è uguale a
$-4,258<=x<=-3,757$ che è $<0$ ?????????????????
non ce la faro mai a capire 
$-4+sqrt(14)<=(x+4)<=-4+sqrt(18)$
da cui $-8+sqrt(14)<=x<=-8+sqrt(18)$
che è uguale a
$-4,258<=x<=-3,757$ che è $<0$ ?????????????????
non ce la faro mai a capire
"mikelozzo":
ma come si attua il procedimento esatto....è quello che vorrei??
$-4+sqrt(14)<=(x+4)<=-4+sqrt(18)$
da cui $-8+sqrt(14)<=x<=-8+sqrt(18)$
che è uguale a
$-4,258<=x<=-3,757$ che è $<0$ ?????????????????
non ce la faro mai a capire
Ma scusa, se sai che $ x\in [-4+\sqrt{14},-4+\sqrt{18}]$ vuol dire che .$-4+\sqrt{14}\leq x \leq -4+\sqrt{18}$, e sommando $4$ da tutte le parti
$\sqrt{14}\leq x +4 \leq \sqrt{18}$, da cui, in particolare $ x+4 > 0$.
o no?
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
ecco perchè sbagliavo
io facevo il ragionamento inverso.....ok ora si....quindi aggiungendo alla x e a destra e sinistra 4 si ottiene che x+4 è contenuto tra due numeri positivi quindi è positivo (è sa questo ottengo il segno)
se invece veniva x compreso tra due negativi, allora il segno era negativo...
GIUSTO????????
ecco perchè sbagliavo
io facevo il ragionamento inverso.....ok ora si....quindi aggiungendo alla x e a destra e sinistra 4 si ottiene che x+4 è contenuto tra due numeri positivi quindi è positivo (è sa questo ottengo il segno)
se invece veniva x compreso tra due negativi, allora il segno era negativo...
GIUSTO????????
"mikelozzo":
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
ecco perchè sbagliavo
io facevo il ragionamento inverso.....ok ora si....quindi aggiungendo alla x e a destra e sinistra 4 si ottiene che x+4 è contenuto tra due numeri positivi quindi è positivo (è sa questo ottengo il segno)
se invece veniva x compreso tra due negativi, allora il segno era negativo...
GIUSTO????????
Giusto - tieni presente che avrebbe anche potuto cambiare segno.
In realta' il "ragionamento inverso" non era sbagliato. Se studi la disuguaglianza $x+4\geq0$ trovi $x\geq-4$. A questo punto ti chiedi : nell'intervallo $[-4+\sqrt{14},-4+\sqrt{18}]$ e' vero che
$x\geq -4$ -- CERTO che e' vero.
Va beh, giusto per aggiungere qualcosa.
OK!! thanks
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