[Risolto]Piano passante per un punto e normale ad un vettore

[Mito125]

Con i seguenti dati:

$Q=(1,-1,1)$ ed il vettore $u=(1,-1,-1)$

devo trovare l'equazione di un piano passante per Q e normale ad u, in rappresentazione assoluta e relativa... Io avrei anche la soluzione, ma non riesco a capirla... Mi dice che se $P=(x,y,z)$ è un punto generico del piano, allora $u \times QP =0$

Ma visto che $ OP = OQ + QP$ segue $u\times (OP - OQ)=0$

Questa dovrebbe essere la formula assoluta. Mi dice che se utilizzo per i vettori le loro componenti otteniamo:

$x-y-z-1=0$

Non ho capito niente di questo esercizio. Il $\times$ indica il prodotto scalare. Perchè usa questo prodotto scalare? Nel senso, il prodotto scalare è nullo quando due vettori sono ortogonali o almeno uno è nullo... Lo usa per sfruttare la proprietà di ortogonalità? Poi come fa a saltar fuori quella equazione cartesiana?

Grazie

[mazzarri1]

Ciao Mito

Il piano passante per un punto $P_0$ e ortogonale a un vettore $vec u$ è per definizione il luogo dei punti $P$ tali che $vec(P P_0 ) vec u =0$ (prodotto interno)

detto in parole povere nel tuo caso

$vec P P_0 = (x-1) vec i + (y+1) vec j + (z-1) vec k$

e se fai il prodotto interno tra questo vettore $vec P P_0$ e il tuo $vec u$ ottieni

$x-1-y-1-z+1=0$

cioè

$x-y-z-1=0$

and we have done

hai capito?

in pratica consideri un punto $P$ qualsiasi del tuo futuro piano e il vettore $vec P P_0$ sarà sicuramente ortogonale al tuo vettore dato

ciao!

[Mito125]

Grazie, ho capito come procedere... Per me è risolta