[RISOLTO]dimostrare equivalenza asintotica con funzione parametrica

[gully_93]

Ciao a tutti.

Dovrei stabilire per quali $alpha in R $ risulta $ n^(1+alpha)/(1+n^alpha) ∼ sqrt(n)$

Ho provato a risolvere impostando il limite usando la definizione

$a_n ∼ b_n $ sse $lim _(n-> +infty) a_n/b_n =1 $

$lim _(n-> +infty) n^(1+alpha)/(1+n^alpha) * 1/sqrt(n) =1 $

$lim _(n-> +infty) n^(1/2+alpha)/(1+n^alpha) =1 $

$lim _(n-> +infty) ( n^(1/2) n^alpha)/(1+n^alpha) =1 $


Però poi mi blocco.
Mi rendo conto che probabilmente la soluzione è semplice e si tratta di qualche passaggio algebrico però non riesco a trovarla

[otta96]

Chi comanda al denominatore?

[pilloeffe]

Ciao hi93,

Si vede subito che non può essere $\alpha >= 0 $, per cui la butto lì... $\alpha = - 1/2 $

[gully_93]

"pilloeffe":Ciao hi93,

Si vede subito che non può essere $\alpha >= 0 $, per cui la butto lì... $\alpha = - 1/2 $

Sono proprio stupido

Scrivo la soluzione così per completezza..

per $alpha=-1/2$

$lim _(n-> + infty) sqrt(n)/(sqrt(n)+1)=$ "raccogliendo al denominatore e semplificando"$=lim _(n-> + infty) 1/((1/sqrt(n)) +1)=1/(0+1) =1 $