[Risolto]Calcolo del residuo di una singolarità essenziale

[JoKer__1]

Salve a tutti,
mi trovo di fronte a una funzione con tre singolarità, di cui una essenziale.
Non riesco a calcolarne il residuo, evidentemente il mio errore è nel metodo, e per questo vi chiedo un aiuto.

La funzione è: \( \frac{ e^{\frac{1} {z}} } {\ 1-z^2} \)

z=0 è la singolarità essenziale che mi interessa.

Ho provato a sviluppare secondo Laurent, il che mi risulta:

\( \sum{\frac{z^{-2k-n-2}}{n!}} \)
Ma non sono convinto di questo risultato.

Il testo dice che il residuo deve valere Res(f,0) = sinh(1).

Mi servirebbe una mano almeno a sviluppare in serie di Laurent la funzione, e sapere se è davvero indispensabile tale sviluppo per determinare il residuo della singolarità essenziale, oppure esiste qualche altra possibilità.

Grazie mille.

[Sk_Anonymous]

$[f(z)=e^(1/z)/(1-z^2)] rarr [f(z)=1/(1-z^2)*e^(1/z)] rarr [f(z)=\sum_{n=0}^{+oo}z^(2n)*\sum_{m=0}^{+oo}z^(-m)/(m!)] rarr$

$rarr [f(z)=\sum_{n=0}^{+oo}\sum_{m=0}^{+oo}z^(2n-m)/(m!)]$

$[2n-m=-1] rarr [m=2n+1] rarr [Res[f(z),0]=\sum_{n=0}^{+oo}1/((2n+1)!)] rarr [Res[f(z),0]=senh(1)]$

Inoltre, siccome $[lim_(|z|to+oo)|f(z)|=0]$ con "sufficiente rapidità", si potrebbe anche procedere osservando che il residuo all'infinito è nullo:

$[Res[f(z),-1]+Res[f(z),0]+Res[f(z),1]+Res[f(z),oo]=0] rarr$

$rarr [Res[f(z),0]=-Res[f(z),-1]-Res[f(z),1]] rarr [Res[f(z),0]=senh(1)]$

[JoKer__1]

Grazie dell'aiuto,
buona giornata!