[Risolto]Area della regione di piano racchiusa da una curva (Analisi 2)

[davi2892]

Salve a tutti, sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Dopo aver riconosciuto che la regione di piano racchiusa dalla curva di equazione $ (x^2+y^2)^2=xy $ è simmetrica rispetto all'origine, calcolarne l'area.
Verificata la simmetria, io ho pensato di introdurre le coordinate polari $ rho $ e $ vartheta $. Facendo ciò l'equazione assegnata diventa $ rho ^2=sinvartheta cosvartheta $ (che credo si chiami equazione polare). In tal modo posso trovare una buona(?) parametrizzazione della curva:
$ { ( x= sqrt(sinvarthetacosvartheta )cosvartheta ),(y=sqrt(sinvartheta cosvartheta )sinvartheta ):} $
Fatto ciò, vorrei capire come impostare l'integrale (non voglio conoscere il risultato, al massimo una linea guida se compare un integrale non particolarmente facile). Intuisco che una volta che ho assegnato l'equzione polare io debba risolvere un integrale sicuramente in d $ vartheta $ ma non capisco cosa devo integrare una volta introdotte le coordinate polari.
Vi ringrazio in anticipo.

[rino6999]

dall'equazione polare si intuisce che il grafico della funzione è un "otto" che si trova nel 1° e 3° quadrante
per la simmetria basta calcolare l'area S della superficie racchiusa dal "mezzo otto" che si trova nel 1° quadrante e moltiplicarla per 2
per calcolarla devi usare la classica parametrizzazione
$x=rhocostheta$
$y=rhosentheta$
con $theta in [0,pi/2];rho in [0,sqrt{costhetasentheta}]$

$S= int_(0)^(pi/2) d theta int_(0)^(sqrt(cos theta sen theta) ) rho d rho $

[davi2892]

ti ringrazio. Buona notte.