[RISOLTO] Verifica flash differenziabilita' di una funzione.
Temo di essere stato troppo veloce ...
Testo: verificare differenziabilita' della seguente funzione - continua nell'origine:
\[f(x,y) = \begin{cases} \frac{\log{(1 + y^3 - x^4)}}{4x^2 + y^2 - 3xy} &\mbox{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 &\mbox{altrove} \end{cases}\]
Si trova velocemente che \(\nabla{f}(0,0) = (0,0)\) - i due rapporti incrementali vanno a zero in modo evidente. Per verificare la differenziabilita' nell'origine ...verifico la differenziabilita' nell'origine! Quindi, via funzione nulla con gradiente nullo nell'origine verifico semplicemente se sussiste che
\[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\log{(1 + y^3 - x^4)}}{4x^2 + y^2 - 3xy} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0\]
Sopra ho `roba` di grado 3; sotto idem. Il sospetto e' che il limite non sia zero - sempre che esista.
D'altro canto mi accorgo che \[4x^2 + y^2 - 3xy\] e' strettamente positivo sia per \(y = 0\) che per \(y \neq 0\) - lo leggo studiando il discriminante del polinomio di grado 2 in \(x/y\).
Quindi, se volessi passare in polari, al denominatore avrei un \(\rho^3\) moltiplicato per una quantita' sempre positiva e mai nulla. Sopra invece avrei un \(\rho^3\) moltiplicato per `schifezze` trigonometriche - al piu' mi aiutano ad andare a zero - quindi trovo che quel limite nell'origine non esiste. Bom.
Che dite? Sono stato un po' troppo maldestro?
'sbagliato tutto.
Testo: verificare differenziabilita' della seguente funzione - continua nell'origine:
\[f(x,y) = \begin{cases} \frac{\log{(1 + y^3 - x^4)}}{4x^2 + y^2 - 3xy} &\mbox{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 &\mbox{altrove} \end{cases}\]
Si trova velocemente che \(\nabla{f}(0,0) = (0,0)\) - i due rapporti incrementali vanno a zero in modo evidente. Per verificare la differenziabilita' nell'origine ...verifico la differenziabilita' nell'origine! Quindi, via funzione nulla con gradiente nullo nell'origine verifico semplicemente se sussiste che
\[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\log{(1 + y^3 - x^4)}}{4x^2 + y^2 - 3xy} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0\]
Sopra ho `roba` di grado 3; sotto idem. Il sospetto e' che il limite non sia zero - sempre che esista.
D'altro canto mi accorgo che \[4x^2 + y^2 - 3xy\] e' strettamente positivo sia per \(y = 0\) che per \(y \neq 0\) - lo leggo studiando il discriminante del polinomio di grado 2 in \(x/y\).
Quindi, se volessi passare in polari, al denominatore avrei un \(\rho^3\) moltiplicato per una quantita' sempre positiva e mai nulla. Sopra invece avrei un \(\rho^3\) moltiplicato per `schifezze` trigonometriche - al piu' mi aiutano ad andare a zero - quindi trovo che quel limite nell'origine non esiste. Bom.
Che dite? Sono stato un po' troppo maldestro?
'sbagliato tutto.
Risposte
Ti ringrazio TeM! Buona giornata
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