[RISOLTO] Un limite un po' rognoso, senza MacLaurin

[giuscri]

Sia $x_n$ la seguente successione a valori in $RR$:

$x_n = ((5n)^n - 50^n - n^4*e^(3n)) / (n*e^(2n) + n^(n+5logn) + 3^n)$

Wolfram mi da ragione sul risultato, ma non vorrei mi fosse andata di fortuna dato che sono poco sicuro sui passaggi.

Come l'ho svolto io:

$x_n = ((5n)^n [1 - (10/n)^n - ((n^(4/n) * e^3) / (5n)) ^ n]) / (n^n * [n^(5logn) + (3/n)^n + (e^2/(n^(1-1/n)))^n])$


$-> (5n)^n / (n^n * (n^(5logn))) = (5/(n^(5logn / n))) ^ n$


Ora:


$x_n = e^log(x_n) = e^(n[log5 - 5logn/ n * logn]) = e^(n*[log5 - 5(log^2n) / n]) -> e^(nlog5) -> +\infty$

Mi sembra un modo abbastanza storto e pasticciato per risolverlo. Che dite?

[theras]

Beh,il tuo metodo certo non è dei più comodi:
perchè non provi semplicemente a dimostrare che quel $(5n)^n$ è l'infinito d'ordine maggiore,
tra tutti gli addendi presenti a numeratore e denominatore?
In fondo l'unica "piccola" difficoltà,per quanto dovresti già sapere su alcuni confronti di specifici "infiniti",
sarà verificare,come hai intutito,che $EElim_(n to oo)(n^(5logn))/(5^n)=0$:
e questa uguaglianza può verificarsi osservando che $(n^(5logn))/(5^n)=e^(5log^2 n-nlog5)$,
e ricordando che la successione di termine generale $n$ è,$AAk in(0,+oo)$,
un infinito d'ordine maggiore di quella di termine generale $log^k n$..
Saluti dal web.

[giuscri]

"theras":Beh,il tuo metodo certo non è dei più comodi:
perchè non provi semplicemente a dimostrare che quel $(5n)^n$ è l'infinito d'ordine maggiore,
tra tutti gli addendi presenti a numeratore e denominatore?
In fondo l'unica "piccola" difficoltà,per quanto dovresti già sapere su alcuni confronti di specifici "infiniti",
sarà verificare,come hai intutito,che $EElim_(n to oo)(n^(5logn))/(5^n)=0$:
e questa uguaglianza può verificarsi osservando che $(n^(5logn))/(5^n)=e^(5log^2 n-nlog5)$,
e ricordando che la successione di termine generale $n$ è,$AAk in(0,+oo)$,
un infinito d'ordine maggiore di quella di termine generale $log^k n$..
Saluti dal web.

Cioé intendi partire fin da subito, avendo più o meno un'idea che il termine dominante sarà $(5n)^n$, di verificare che il rapporto fra ogni addendo e $(5n)^n$ vada a zero (o a $+\infty$, a seconda di chi sta al numeratore e chi al denominatore)?

[theras]

Ebbene si:
in fondo i comportamenti al limite di quei rapporti sono tutti "noti",
tranne quello su cui t'ho dato quel piccolo input..
Saluti dal web.

[giuscri]

"theras":Ebbene si:
in fondo i comportamenti al limite di quei rapporti sono tutti "noti",
tranne quello su cui t'ho dato quel piccolo input..
Saluti dal web.

Mi sembra un'alternativa furba.

Grazie per il suggerimento. Buona serata!