[RISOLTO] Sviluppo di MacLaurin

[giuscri]

Mi scuso in anticipo per la poca originalità dell'esercizio.

Si scriva lo sviluppo di MacLaurin arrestato al quarto ordine di $f$, dove $f(x)$ è definita come segue:

$f(x) = sqrt(1 + x^2) - cosh(e^x - 1)$.[/list:u:3ujaag78]

Quindi:


$sqrt(1 + x^2)$[/list:u:3ujaag78]

lo sviluppo come segue:


$1 + 1/2 * x^2 - 1/8 * x^4 + (o(x))^4$[/list:u:3ujaag78]

Invece, $cosh(e^x - 1)$ così:


$cosh(x + x^2 / 2 + x^3 / 6 + (o(x))^3)$[/list:u:3ujaag78]


$\sim 1 + 1/2 (x^2 + x^3 / 2 + x^4 / 6 + x^3 / 2 + x^4 /4 + x^4 / 6 + (o(x))^4)$[/list:u:3ujaag78]


$= 1 + x^2 / 2 + x^3 / 2 + x^4 * 7/24$[/list:u:3ujaag78]

Concludo:


$\rArr f(x) \sim - 1 / 8 * x^4 - x^3 / 2 - 7/24 * x^4$[/list:u:3ujaag78]

i.e. $ f(x) \sim - x^3 / 2 - 10/24 * x^4$[/list:u:3ujaag78]

Ma il risultato che Wolfram mi stampa ha $(- 11 / 24)$ come coefficiente di $x^4$:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ex ... at+x+%3D+0

Dove sto sbagliando?

Grazie mille.

[Palliit]

Ciao. Mi sembra che sbagli qua:

"giuscri":

$cosh(x + x^2 / 2 + x^3 / 6 + (o(x))^3)$[/list:u:2t5fz5xi]


$\sim 1 + 1/2 (x^2 + x^3 / 2 + x^4 / 6 + x^3 / 2 + x^4 /4 + x^4 / 6 + (o(x))^4)$[/list:u:2t5fz5xi]

a me (salvo ovviamente errori miei) risulta:

$cosh(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))\sim 1+1/2(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))^2+1/(4!)(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))^4 \sim$
$1+1/2(x^2+x^4/4+x^3+x^4/3)+1/24 x^4+o(x^4) \sim 1+1/2 x^2+1/8 x^4+1/2 x^3+1/6 x^4+1/24x^4+o(x^4)=$
$1+1/2x^2+1/2x^3+1/3x^4+o(x^4)$

che sottratto allo sviluppo della radice mi pare che dìa quello che dice Wolfram.

[giuscri]

"Palliit":Ciao. Mi sembra che sbagli qua:
[quote="giuscri"]

$cosh(x + x^2 / 2 + x^3 / 6 + (o(x))^3)$[/list:u:19wkstva]


$\sim 1 + 1/2 (x^2 + x^3 / 2 + x^4 / 6 + x^3 / 2 + x^4 /4 + x^4 / 6 + (o(x))^4)$[/list:u:19wkstva]

a me (salvo ovviamente errori miei) risulta:

$cosh(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))\sim 1+1/2(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))^2+1/(4!)(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))^4 \sim$
$1+1/2(x^2+x^4/4+x^3+x^4/3)+1/24 x^4+o(x^4) \sim 1+1/2 x^2+1/8 x^4+1/2 x^3+1/6 x^4+1/24x^4+o(x^4)=$
$1+1/2x^2+1/2x^3+1/3x^4+o(x^4)$

che sottratto allo sviluppo della radice mi pare che dìa quello che dice Wolfram.[/quote]

Eh già! Hai ragionissima. Ho provato a rifare i calcoli ora e viene giusto.

Grazie!

[Palliit]

Prego!