[risolto] soluzione equazione

[emix0880]

ciao a tutti
come ogni buon febbraio che si rispetti, provo a dare l' esame di analisi. Qulcuno mi può spiegare il procedimento per risolvere questo tipo di esercizio?

il n 5
http://www.dm.unibo.it/~mughetti/esami07/16gennaio2.pdf

[_Tipper]

Potresti provare a disegnare $y = 2 x^2 + 5$ e $y = \lambda \sqrt{x^2 + 1}$ e vedere un po' cosa succede al variare di $\lambda$.

[Lord K]

Allora si tratta di valutare:

$(2x^2+5)/sqrt(x^2+1)= lambda$

riscrivo:

$(2x^2+5)= lambda*sqrt(x^2+1)$
$(2x^2+5)^2= lambda^2*(x^2+1)$

qualche conto:

$4x^4+(20-lambda^2)x^2 + (25-lambda^2) = 0$

qui vediamo il delta:

$Delta = (20-lambda^2)^2 - 4*4*(25-lambda^2) = 400 - 40*lambda^2+lambda^4 - 400 + 16*lambda^2 = -lambda^2(24-lambda^2)$

Mod: ho sbagliato un segno, da qui:

$(24-lambda^2)<0$
$lambda^2>24$

etc...

ma in relatà ha ragione apatriarca nel post sottostante!

[emix0880]

ho capito il meccanismo, grazie mille

[apatriarca]

La $x$ compare solo al quadrato e quindi se $a$ è soluzione della equazione lo è anche $-a$. Per esserci $3$ soluzioni reali ci deve essere necessariamente una soluzione $a > 0$ (e quindi $-a$) e $0$. $0$ è soluzione solo quando $\lambda = 5$. Quindi possono essere vere solo D o F. Bisogna quindi dimostrare che esiste anche un'altra soluzione:

$2*x^2 + 5 = 5*\sqrt{x^2 + 1}$
$(2*x^2 + 5)^2 = 25*x^2 + 25$
$4*x^4 + 20*x^2 + 25 = 25*x^2 + 25$
$4*x^4 - 5*x^2 = 0$
$x^2*(4*x^2 - 5) = 0$

Quindi se non ho sbagliato i calcoli $a = \sqrt{5}/2$ e quindi la risposta corretta è la D.

[emix0880]

ok per avere un altro esempio saresti cosi gentile da risolvermi anche la n 5 di questo http://www.dm.unibo.it/~mughetti/esami06/6luglio06.pdf.

[Lord K]

Il link non mi funziona...

[emix0880]

si ho messo il punto dopo pdf http://www.dm.unibo.it/~mughetti/esami06/6luglio06.pdf

[apatriarca]

Questa è un po' più complicata. Il modo migliore consiste secondo me nello studiare la funzione $f(x) = x^4*(ln(|x|) - 1/4)$. Prima di tutto la funzione è pari. Quindi conviene studiare la curva solo per $x > 0$ ($x = 0$ non è nel dominio della funzione). Dopo uno studio veloce si ottiene che la funzione ha limite $0$ in $0$ e interseca l'asse $x$ in altri due punti ($ln(|x|) = 1/4$) e quindi nel tratto $0 < |x| < e^{1/4}$ ci sono quattro soluzioni all'equazione. Devo trovare il minimo in modo da trovare l'intervallo di $\lambda$ all'interno del quale la $x$ varia nell'intervallo considerato. Il minimo si trova per $|x| = 1$ e il minimo vale $-1/4$. Quindi la soluzione corretta è C.

EDIT: scusa... avevo perso di vista l'obiettivo...

[emix0880]

grazie per l' aiuto