[Risolto] Serie Formali per risoluzione Successioni per Ricorrenza
Buonasera,
dopo un intero pomeriggio dedicato a ricolvere un solo esercizio non mi resta altro che chiedere ancora una volta il vostro aiuto. Anche perchè l'esame si avvicina, molto del lavoro è fatto, ma questa cosa prorpio non mi torna.
In sostanza devo trovare una forma (mi sembra si definisca forma esplicita o sbaglio???) per esprimere $a_n$ in funzione di $n$ per una successione definita per ricorrenza. La successione è la seguente:
$\{(a_n = 4 - a_(n-1) " n>=1 " ) , (a_0 = 0):}$
Sviluppando i termini della successione ottengo:
$ n = 1 -> a_1 = 4 - a_0 = 4 $
$ n = 2 -> a_2 = 4 - a_1 = 0 $
$ n = 3 -> a_3 = 4 - a_2 = 4 $
Mi sembra evidenete che i valori si ripetano alternativamente tra 0 - 4 - 0 - 4 ...etc
Provando a risolvere l'esercizio tramite le serie formali non sono riuscito in nessun modo a venirne a capo (e devo utilizzare quelle su rischiesta del professore).
Ho scritto (sintetizzo sperando di non dimenticare nulla):
$a_n -> sum_{n=0}^\infty\a_n x^n -> Serie_1$
$a_(n-1) -> x sum_{n=1}^\infty\a_n x^n -> x Serie_1$
Poi a questo punto è giusto trascrivere la successione definita per ricorrenza ( $a_n = 4 - a_(n-1)$ ) nel seguente modo?
$ Serie_1 = 4 - x Serie_1 -> a_0 = 0 = Serie_1 - 4 + x Serie_1 $
oppure devo trattare il 4 in altro modo, tipo:
$ Serie_1 = 4/(1-x) - x Serie_1 -> a_0 = 0 = Serie_1 - 4/(1-x) + x Serie_1$
Per ora mi fermo qua, poi se il percorso almeno fin qua mi confermate che è corretto, proseguo con il resto dello svolgimento.....In particolare non ho ben capito come devo gestire il 4....
Ma soprattutto esiste una forma di esprimere $an$ in funzione di $n$ par tale successione?
Non vorrei che ci fosse qualche trabocchetto nell'esercizio stesso
dopo un intero pomeriggio dedicato a ricolvere un solo esercizio non mi resta altro che chiedere ancora una volta il vostro aiuto. Anche perchè l'esame si avvicina, molto del lavoro è fatto, ma questa cosa prorpio non mi torna.
In sostanza devo trovare una forma (mi sembra si definisca forma esplicita o sbaglio???) per esprimere $a_n$ in funzione di $n$ per una successione definita per ricorrenza. La successione è la seguente:
$\{(a_n = 4 - a_(n-1) " n>=1 " ) , (a_0 = 0):}$
Sviluppando i termini della successione ottengo:
$ n = 1 -> a_1 = 4 - a_0 = 4 $
$ n = 2 -> a_2 = 4 - a_1 = 0 $
$ n = 3 -> a_3 = 4 - a_2 = 4 $
Mi sembra evidenete che i valori si ripetano alternativamente tra 0 - 4 - 0 - 4 ...etc
Provando a risolvere l'esercizio tramite le serie formali non sono riuscito in nessun modo a venirne a capo (e devo utilizzare quelle su rischiesta del professore).
Ho scritto (sintetizzo sperando di non dimenticare nulla):
$a_n -> sum_{n=0}^\infty\a_n x^n -> Serie_1$
$a_(n-1) -> x sum_{n=1}^\infty\a_n x^n -> x Serie_1$
Poi a questo punto è giusto trascrivere la successione definita per ricorrenza ( $a_n = 4 - a_(n-1)$ ) nel seguente modo?
$ Serie_1 = 4 - x Serie_1 -> a_0 = 0 = Serie_1 - 4 + x Serie_1 $
oppure devo trattare il 4 in altro modo, tipo:
$ Serie_1 = 4/(1-x) - x Serie_1 -> a_0 = 0 = Serie_1 - 4/(1-x) + x Serie_1$
Per ora mi fermo qua, poi se il percorso almeno fin qua mi confermate che è corretto, proseguo con il resto dello svolgimento.....In particolare non ho ben capito come devo gestire il 4....
Ma soprattutto esiste una forma di esprimere $an$ in funzione di $n$ par tale successione?
Non vorrei che ci fosse qualche trabocchetto nell'esercizio stesso
Risposte
Non ho perfettamente compreso l'ultima parte del tuo ragionamento, ma ti rispondo per quanto riguarda la forma esplicita.
Mi viene in mente una successione del tipo $a_n = 2-2(-1)^{n} $. In questo modo $a_0=0$ e tornano i termini successivi.
Mi viene in mente una successione del tipo $a_n = 2-2(-1)^{n} $. In questo modo $a_0=0$ e tornano i termini successivi.
In poche parole la richiesta è la ricerca di una formula chiusa nella quale scelto $n$ ti restituisca la somma? Se è sì, non c'è alcun trabocchetto e la formula chiusa per la somma parziale esiste.
Se è no, puoi andare infondo cliccando sull'apice numerico che segue questa frase, che ti porta a una breve nota.[nota]è evidente che se $n$ è pari si ha che il termine vale $0$ e che se $n$ è dispari, il termine vale $4$. Quindi basta sapere se il numero che inserisci è pari o dispari per avere risposta immediata.[/nota]
Se non è nessuna delle due, avrei potuto dormire un po' di più
Intanto inquadriamo un po' la successione.
${(a_0=0),(a_n=4-a_(n-1)ifnge1):}$ sviluppando qualche termine
${(a_0=0),(a_1=4),(a_2=0),(a_3=4),(...),(a_N=4-a_(N+1)):}$
si nota molto facilmente che un termine della successione vale $0$ se l'indice è un numero pari, $4$ se dispari.
Detto questo proviamo a sviluppare la somma parziale da $0$ a $N$
$sum_(n=0)^(N)a_n=0+4+0+4+...+a_N$
nota importante: la somma parziale è formata da $N+1$ termini perché dobbiamo tenere conto dello $0-esimo$ termine, ovvero il primo della successione.
Questo cosa vuol dire? A cosa ci può servire? In queste serie a tutto infatti ora esaminiamo entrambi i casi.
$N$ dispari
Mettiamo subito le mani avanti dicendo che se la serie contiene $N+1$ termini, e $N$ è dispari, allora $N+1$ è un numero pari. In particolare abbiamo metà serie composta da $4$ e l'altra metà da $0$.[nota]Questo lo si può dedurre anche ragionando un attimo per assurdo: se così non fossero distribuiti esisterebbe un $k$ tale che $a_k=a_(k+1)$ dunque:
o $a_k=a_(k+1)=0$
o $a_k=a_(k+1)=4$
Ma se $k$ è pari, allora $(k+1)$ è dispari, da quì la contraddizione.[/nota]
$sum_(n=0)^(N)a_n=underbrace{0+4+0+..+4}_(N+1)=...$
$...4*((N+1)/2)+0*((N+1)/2)$
In teoria non possiamo commutare i termini della somma, ma infatti non lo stiamo facendo. Abbiamo semplicemente sommato tutti i termini simili, ricordando che metà sono $4$ e metà sono $0$.
$sum_(n=0)^(N)a_n=2(N+1)$ se $N$ è dispari
$N$ pari
Stavolta il numero dei termini sarà dispari, puoi dimostrarlo tu stesso, seppur intuitivo la matematica non lascia nulla a esso. Questo si dimostra usando più che altro il caso precedente, infatti scrivendo la somma parziale avremo:
$sum_(n=0)^(N)a_n=underbrace{0+4+0+4+...+4}_(N)+0$
Se $N+1$ stavolta è dispari, allora $N$ termini sono pari. Allora avremo $N/2$ serie formata da $4$, $N/2$ serie formata da $0$ e l'ultimo termine, che in quanto l'$(N+1)-esimo$ termine è un pari, sarà uno $0$
$sum_(n=0)^(N)a_n=4(N/2)+0(N/2)+0$
Si conclude facilmente che sarà:
$sum_(n=0)^(N)a_n=2N$ se $N$ è pari
Dunque volendo riassumere tutto tutto in un'unica parentesi, possiamo scrivere così:
$sum_(n=0)^(N)a_n:={(2NifN pari),(2(N+1)ifN dispari):}$
Se è no, puoi andare infondo cliccando sull'apice numerico che segue questa frase, che ti porta a una breve nota.[nota]è evidente che se $n$ è pari si ha che il termine vale $0$ e che se $n$ è dispari, il termine vale $4$. Quindi basta sapere se il numero che inserisci è pari o dispari per avere risposta immediata.[/nota]
Se non è nessuna delle due, avrei potuto dormire un po' di più
Intanto inquadriamo un po' la successione.
${(a_0=0),(a_n=4-a_(n-1)ifnge1):}$ sviluppando qualche termine
${(a_0=0),(a_1=4),(a_2=0),(a_3=4),(...),(a_N=4-a_(N+1)):}$
si nota molto facilmente che un termine della successione vale $0$ se l'indice è un numero pari, $4$ se dispari.
Detto questo proviamo a sviluppare la somma parziale da $0$ a $N$
$sum_(n=0)^(N)a_n=0+4+0+4+...+a_N$
nota importante: la somma parziale è formata da $N+1$ termini perché dobbiamo tenere conto dello $0-esimo$ termine, ovvero il primo della successione.
Questo cosa vuol dire? A cosa ci può servire? In queste serie a tutto
infatti ora esaminiamo entrambi i casi.$N$ dispari
Mettiamo subito le mani avanti dicendo che se la serie contiene $N+1$ termini, e $N$ è dispari, allora $N+1$ è un numero pari. In particolare abbiamo metà serie composta da $4$ e l'altra metà da $0$.[nota]Questo lo si può dedurre anche ragionando un attimo per assurdo: se così non fossero distribuiti esisterebbe un $k$ tale che $a_k=a_(k+1)$ dunque:
o $a_k=a_(k+1)=0$
o $a_k=a_(k+1)=4$
Ma se $k$ è pari, allora $(k+1)$ è dispari, da quì la contraddizione.[/nota]
$sum_(n=0)^(N)a_n=underbrace{0+4+0+..+4}_(N+1)=...$
$...4*((N+1)/2)+0*((N+1)/2)$
In teoria non possiamo commutare i termini della somma, ma infatti non lo stiamo facendo. Abbiamo semplicemente sommato tutti i termini simili, ricordando che metà sono $4$ e metà sono $0$.
$sum_(n=0)^(N)a_n=2(N+1)$ se $N$ è dispari
$N$ pari
Stavolta il numero dei termini sarà dispari, puoi dimostrarlo tu stesso, seppur intuitivo la matematica non lascia nulla a esso. Questo si dimostra usando più che altro il caso precedente, infatti scrivendo la somma parziale avremo:
$sum_(n=0)^(N)a_n=underbrace{0+4+0+4+...+4}_(N)+0$
Se $N+1$ stavolta è dispari, allora $N$ termini sono pari. Allora avremo $N/2$ serie formata da $4$, $N/2$ serie formata da $0$ e l'ultimo termine, che in quanto l'$(N+1)-esimo$ termine è un pari, sarà uno $0$
$sum_(n=0)^(N)a_n=4(N/2)+0(N/2)+0$
Si conclude facilmente che sarà:
$sum_(n=0)^(N)a_n=2N$ se $N$ è pari
Dunque volendo riassumere tutto tutto in un'unica parentesi, possiamo scrivere così:
$sum_(n=0)^(N)a_n:={(2NifN pari),(2(N+1)ifN dispari):}$
"Ahornach":
Mi viene in mente una successione del tipo $a_n = 2-2(-1)^{n} $. In questo modo $a_0=0$ e tornano i termini successivi.
Per quanto riguarda la forma esplicita direi che è sicuramente corretta.
Ma ci sei arrivato per deduzione oppure con un procedimento.
Ad ogni modo grazie per la soluzione, già con questa mi posso rendere conto se i procedimenti che svolgo mi portano al risultato di cui non avevo la più pallida idea. Ho provate una marea di combinazioni ma non me ne veniva fuori nemmeno una
Se non dovessi riuscire con questo esercizio al limite provo con un altro, forse più semplice, che è praticamente simile, cambia solo la forma (tanto per portarmi avanti nel caso di una successione del tipo "0 - 2 - 0 - 2...etc" hai per caso una forma esplicita che ti viene in mente?
Grazie ancora anticipatamente!!!
"Alex_SSRI":
nel caso di una successione del tipo "0 - 2 - 0 - 2...etc" hai per caso una forma esplicita che ti viene in mente?
Forse mi è venuta in mente $a_n = 1 - 1 (-1)^n$
Adesso è da verificare come arrivare alla soluzione in entrambi i casi
"Alex_SSRI":
Per quanto riguarda la forma esplicita direi che è sicuramente corretta.
Ma ci sei arrivato per deduzione oppure con un procedimento.
In realtà ci sono arrivato un po' "ad occhio".
"Alex_SSRI":
Se non dovessi riuscire con questo esercizio al limite provo con un altro, forse più semplice, che è praticamente simile, cambia solo la forma (tanto per portarmi avanti nel caso di una successione del tipo "0 - 2 - 0 - 2...etc" hai per caso una forma esplicita che ti viene in mente?
Grazie ancora anticipatamente!!!
Provo a generalizzare il ragionamento che ho fatto per arrivare alla forma esplicita di prima.
Prendiamo due numeri $h$ e $k$, $h>k$ tali che $h,k \in \RR$.
I termini della successione $a_n$ si alternano tra $k$ e $h$. Possiamo dunque concepire i termini di questa successione come il valor medio tra $k$ e $h$ più un termine a segno alterno.
Formalizziamo:
Se $a_0=k$, allora
$$ a_n= \frac{h+k}{2} - \frac{h-k}{2} (-1)^{n} $$
Se $a_0=h$, allora
$$ a_n= \frac{h+k}{2} - \frac{h-k}{2} (-1)^{n+1} $$
Spero di esserti stato d'aiuto
"Ahornach":
Spero di esserti stato d'aiuto
Si si, mi sei stato di aiuto. Infatti per il primo caso ho trovato una possibile soluzione
Mi sono però impelagato nel secondo caso, ancora peggio (successione 0 - 2 - 0 - 2 etc)!!!
Sono finito in un prodotto di Serie e quindi non ne vengo a capo.
Nello specifico non riesco a ricavare una forma esplicita da questo:
$ 2 / ((1-x)(1+x)) = 2 ( 1/(1-x)) ( 1 /( 1 + x)) $
Trasformo il tutto in
$ 2 ( \sum_{n=0}^00 (1)^n(x)^n \sum_{n=0}^00 (-1)^n(x)^n )$
A parte il fatto che non ho capito il risultato del prodotto che ottengo, però per assurdo facendo rapidi calcoli mi uscivano risultati invertiti....ovvero:
$ n = 0 -> a_n = 2$
$ n = 1 -> a_n = 0$
$ etc....$
Ottengo in pratica anzichè $ 0 - 2 - 0 - 2 ... etc $ i valori $ 2 - 0 - 2 - 0 ... etc $
Buonasera dopo altri due giorni di lotta, niente, non riesco a venire a capo dell'esercizio. E considerando che fra poco più di 24 ore, all'esame ore potrebbe uscire un esercizio simile, la cosa non mi lascia per niente tranquillo.
Ora tralasciando il tutto vi pongo una domanda, perchè poi magari il quesito è già risolto ed io sono in cerca di una soluzione che non arriverà mai...perchè già trovata
Dunque, ipotizzando di avere:
$\{(a_0 = 0),(a_n = 4-a_(n-1) ........ n>=1):}$
Quando io arrivo a dedurre la forma esplicita in essa deve essere considerato anche $a_0$? Perchè se così non fosse il problema è risolto
La mia forma esplicità è infatti
$ 4 ( \sum_{n=0}^00 1^nx^n \sum_{n=0}^00 (-1)^nx^n )$ che restituisce quindi:
- primo termine $ 4 * 1 = 4 $
- secondo termine $ 4 * 0 = 0 $
- primo termine $ 4 * 1 = 4 $
etc....
La successione originaria è però
- $ a_0 = 0 $
- $ a_n = 4 - 0 - 4 - 0 ....etc $
Quindi non capisco se quando esplicito $a_n$ devo considerare anche $a_0$ oppure no, perchè se lo devo considerare la soluzione da me trovata, è ovviamente errata
Ora tralasciando il tutto vi pongo una domanda, perchè poi magari il quesito è già risolto ed io sono in cerca di una soluzione che non arriverà mai...perchè già trovata
Dunque, ipotizzando di avere:
$\{(a_0 = 0),(a_n = 4-a_(n-1) ........ n>=1):}$
Quando io arrivo a dedurre la forma esplicita in essa deve essere considerato anche $a_0$? Perchè se così non fosse il problema è risolto
La mia forma esplicità è infatti
$ 4 ( \sum_{n=0}^00 1^nx^n \sum_{n=0}^00 (-1)^nx^n )$ che restituisce quindi:
- primo termine $ 4 * 1 = 4 $
- secondo termine $ 4 * 0 = 0 $
- primo termine $ 4 * 1 = 4 $
etc....
La successione originaria è però
- $ a_0 = 0 $
- $ a_n = 4 - 0 - 4 - 0 ....etc $
Quindi non capisco se quando esplicito $a_n$ devo considerare anche $a_0$ oppure no, perchè se lo devo considerare la soluzione da me trovata, è ovviamente errata
L'idea (che poi è quella della cosiddetta trasformata zeta geofisica) è quella di introdurre una funzione $A$ mediante la posizione:
\[
\tag{1}
A(x) := \sum_{n=0}^\infty a_nx^n
\]
e cercare di usare la ricorrenza e le proprietà delle serie di potenze per determinare gli $(a_n)$.
Per la ricorrenza e considerando \(-1
\begin{split}
A(x) &= a_0 + \sum_{n=1}^\infty (4-a_{n-1})x^n \\
&= a_0 + \sum_{n=1}^\infty (4-a_{n-1})x^n \\
&=a_0 + 4\ \sum_{n=1}^\infty x^n - \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^n\\
&= a_ 0 + 4\ \underbrace{\sum_{n=1}^\infty x^n}_{=\frac{1}{1-x} - 1} - x\ \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^{n-1}\\
&= \underbrace{a_ 0}_{=0} + \frac{4x}{1-x} - x\ \underbrace{\sum_{n=0}^\infty a_n x^n}_{=A(x)}\\
&= \frac{4x}{1-x} - x\ A(x)
\end{split}
\]
da cui si trae:
\[
\tag{2}
A(x) = \frac{4x}{(1-x)(1+x)} = \frac{2}{1-x} - \frac{2}{1+x}\; .
\]
Una volta determinata la $A$, bisogna determinare gli $(a_n)$. Confrontando le (1) e (2) si capisce che gli $a_n$ sono i coefficienti di Taylor dello sviluppo di $A$ di centro $0$, cosicché per determinare gli $(a_n)$ basta calcolare:
\[
A(x) = \sum_{n=0}^\infty 2\ x^n - \sum_{n=0}^\infty 2(-1)^n\ x^n = \sum_{n=0}^\infty 2\big( 1 - (-1)^n\big)\ x^n
\]
e da ciò trarre:
\[
a_n = 2\big( 1 - (-1)^n\big)\; .
\]
\[
\tag{1}
A(x) := \sum_{n=0}^\infty a_nx^n
\]
e cercare di usare la ricorrenza e le proprietà delle serie di potenze per determinare gli $(a_n)$.
Per la ricorrenza e considerando \(-1
\begin{split}
A(x) &= a_0 + \sum_{n=1}^\infty (4-a_{n-1})x^n \\
&= a_0 + \sum_{n=1}^\infty (4-a_{n-1})x^n \\
&=a_0 + 4\ \sum_{n=1}^\infty x^n - \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^n\\
&= a_ 0 + 4\ \underbrace{\sum_{n=1}^\infty x^n}_{=\frac{1}{1-x} - 1} - x\ \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^{n-1}\\
&= \underbrace{a_ 0}_{=0} + \frac{4x}{1-x} - x\ \underbrace{\sum_{n=0}^\infty a_n x^n}_{=A(x)}\\
&= \frac{4x}{1-x} - x\ A(x)
\end{split}
\]
da cui si trae:
\[
\tag{2}
A(x) = \frac{4x}{(1-x)(1+x)} = \frac{2}{1-x} - \frac{2}{1+x}\; .
\]
Una volta determinata la $A$, bisogna determinare gli $(a_n)$. Confrontando le (1) e (2) si capisce che gli $a_n$ sono i coefficienti di Taylor dello sviluppo di $A$ di centro $0$, cosicché per determinare gli $(a_n)$ basta calcolare:
\[
A(x) = \sum_{n=0}^\infty 2\ x^n - \sum_{n=0}^\infty 2(-1)^n\ x^n = \sum_{n=0}^\infty 2\big( 1 - (-1)^n\big)\ x^n
\]
e da ciò trarre:
\[
a_n = 2\big( 1 - (-1)^n\big)\; .
\]
Gugo82 grazie moltissime per la spiegazione.
E' praticamente il metodo che utilizziamo per risolvere questo tipo di problema.
Mi sono stampato tutto ed ho studiato la soluzione il giorno prima del compito, ma al compito non sono stato in grado di arrivare a risoluzione completa (tra l'altro compito che dovrò rifare fra 15/20 giorni in quanto non superato ).
Pensa che poi l'esercizio era praticamente simile al tuo esempio .
Infatti la forma esplicita da ricavare faceva riferimento ad una successione per ricorrenza del seguente tipo:
$ \{(a_0 = 1),(a_n = 2a_(n-1) - 1):} $
I termini della successione sono $ 1 - 1 - 1 .... etc $.
Ho provato il tuo stesso sviluppo.....ma dopo lo sviluppo iniziale mi sono fermato ad un certo punto in quanto non risucivo ad evolvermi da questo punto:
$A(x) = 2 x A(x) - (1x)/(1-x)$
$A(x) - 2 x A(x) = - (1x)/(1-x)$
$A(x) ( 1 - 2x) = -(1x)/(1-x)$
$A(x) = -(1x)/((1-x)(1-2x))$
Nello specifico non riuscivo a trasformare questa benedetta frazione in somma di frazioni per poi ricavarmi le serie
Se hai modo e tempo, mi aiuteresti a concludere questo esercizio??!!!
Se poi ti resta più comodo va bene anche se fai lo sviluppo con il tuo metodo come nel precedente esempio....
Grazie ancora
E' praticamente il metodo che utilizziamo per risolvere questo tipo di problema.
Mi sono stampato tutto ed ho studiato la soluzione il giorno prima del compito, ma al compito non sono stato in grado di arrivare a risoluzione completa (tra l'altro compito che dovrò rifare fra 15/20 giorni in quanto non superato
).Pensa che poi l'esercizio era praticamente simile al tuo esempio
.Infatti la forma esplicita da ricavare faceva riferimento ad una successione per ricorrenza del seguente tipo:
$ \{(a_0 = 1),(a_n = 2a_(n-1) - 1):} $
I termini della successione sono $ 1 - 1 - 1 .... etc $.
Ho provato il tuo stesso sviluppo.....ma dopo lo sviluppo iniziale mi sono fermato ad un certo punto in quanto non risucivo ad evolvermi da questo punto:
$A(x) = 2 x A(x) - (1x)/(1-x)$
$A(x) - 2 x A(x) = - (1x)/(1-x)$
$A(x) ( 1 - 2x) = -(1x)/(1-x)$
$A(x) = -(1x)/((1-x)(1-2x))$
Nello specifico non riuscivo a trasformare questa benedetta frazione in somma di frazioni per poi ricavarmi le serie
Se hai modo e tempo, mi aiuteresti a concludere questo esercizio??!!!
Se poi ti resta più comodo va bene anche se fai lo sviluppo con il tuo metodo come nel precedente esempio....
Grazie ancora
Beh, basta usare i tratti semplici.
Insomma devi determinare due costanti $a$ e $b$ tali che:
\[
\frac{x}{(1-x)(1-2x)} =\frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x}
\]
le quali, a occhio, sono $a=-1$ e $b=1$.
Insomma devi determinare due costanti $a$ e $b$ tali che:
\[
\frac{x}{(1-x)(1-2x)} =\frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x}
\]
le quali, a occhio, sono $a=-1$ e $b=1$.
Grazie Gugo82...al quarto tentativo sono riuscito a risolvere il sistema ed ottenere i risultati che mi hai indicato
$ -(1x)/((1-x)(1-2x)) = a/(1-x) + b/(1-2x) = (a ( 1 - 2 x ) + b ( 1 - x))/((1-x)(1-2x)) = (a - 2xa + b - bx)/((1-x)(1-2x)) = ((a + b) - x (2a + b))/((1-x)(1-2x)) $
A questo punto procedo con il sistema (ho qualche dubbio sul meno iniziale !!!)
$\{(a + b = 0),(2a + b = 1):} {(b = -a),(2a - a = 1):} {(b = -1),(a = 1):}$
A questo punto mi trovo quindi che:
$A(x) = -(1x)/((1-x)(1-2x)) = 1/(1-x) - 1/(1-2x) $
Pertanto:
\[ A(x) = \sum_{n=0}^\infty 1^n\ x^n - \sum_{n=0}^\infty 2^n\ x^n = \sum_{n=0}^\infty (1-2)^n\ x^n \]
da cui traggo la conclusione errata (penso sia un problema di segno ):
\[ a_n = (-1)^n\]
$ -(1x)/((1-x)(1-2x)) = a/(1-x) + b/(1-2x) = (a ( 1 - 2 x ) + b ( 1 - x))/((1-x)(1-2x)) = (a - 2xa + b - bx)/((1-x)(1-2x)) = ((a + b) - x (2a + b))/((1-x)(1-2x)) $
A questo punto procedo con il sistema (ho qualche dubbio sul meno iniziale !!!)
$\{(a + b = 0),(2a + b = 1):} {(b = -a),(2a - a = 1):} {(b = -1),(a = 1):}$
A questo punto mi trovo quindi che:
$A(x) = -(1x)/((1-x)(1-2x)) = 1/(1-x) - 1/(1-2x) $
Pertanto:
\[ A(x) = \sum_{n=0}^\infty 1^n\ x^n - \sum_{n=0}^\infty 2^n\ x^n = \sum_{n=0}^\infty (1-2)^n\ x^n \]
da cui traggo la conclusione errata (penso sia un problema di segno
):\[ a_n = (-1)^n\]
Fin qui:
$ ((a + b) - x (2a + b))/((1-x)(1-2x)) $
tutto giusto... E poi nel sistema ti dimentichi il $-$ che c'è accanto al coefficiente $2a+b$.
$ ((a + b) - x (2a + b))/((1-x)(1-2x)) $
tutto giusto... E poi nel sistema ti dimentichi il $-$ che c'è accanto al coefficiente $2a+b$.
Grazi Gugo82...penso di aver trovato l'errore che penso sia ancora più a monte. Nello specifico credo sia errato questo punto che poi a valanga si porta dietro il resto:
\[ \frac{-1x}{(1-x)(1-2x)} =\frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} \]
Nello specifico ok per questo:
\[ \frac{x}{(1-x)(1-2x)} =\frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} \]
Ma in questo altro caso quali sono le frazioni corrette da impostare?
\[ \frac{-x}{(1-x)(1-2x)} \]
Perchè è proprio quel $-1x$ al numeratore che poi mi porta ad impostare nel sistema $ 2 a + b = 1$ poichè in tal caso $ -x $ in qualità di secondo denominatore della equazione diventa proprio uguale a $-1x$ (primo numeratore della equazione)!!
Grazie come sempre
\[ \frac{-1x}{(1-x)(1-2x)} =\frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} \]
Nello specifico ok per questo:
\[ \frac{x}{(1-x)(1-2x)} =\frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} \]
Ma in questo altro caso quali sono le frazioni corrette da impostare?
\[ \frac{-x}{(1-x)(1-2x)} \]
Perchè è proprio quel $-1x$ al numeratore che poi mi porta ad impostare nel sistema $ 2 a + b = 1$ poichè in tal caso $ -x $ in qualità di secondo denominatore della equazione diventa proprio uguale a $-1x$ (primo numeratore della equazione)!!
Grazie come sempre
Provo a riscrivere il tutto semplificando la situazione "segni"
$ -((1x)/((1-x)(1-2x)))= -( a/(1-x) + b/(1-2x) ) = -((a ( 1 - 2 x ) + b ( 1 - x))/((1-x)(1-2x))) = -((a - 2xa + b - bx)/((1-x)(1-2x))) = -(((a + b) + x (-2a - b))/((1-x)(1-2x))) $
A questo punto procedo con il sistema (non considero il meno iniziale davanti alle parentesi!!!)
$\{(a + b = 0),(-2a - b = 1):} {(b = -a),(2a + b = -1):} {(b = -a),(2a - a = -1):}{(a = -1),(b = 1):}$
A questo punto mi trovo quindi che:
$A(x) = -((1x)/((1-x)(1-2x))) = -(-1/(1-x) + 1/(1-2x)) = +1/(1-x) - 1/(1-2x) = $
Pertanto:
\[ A(x) = \sum_{n=0}^\infty 1^n\ x^n - \sum_{n=0}^\infty 2^n\ x^n = \sum_{n=0}^\infty (1-2)^n\ x^n \]
da cui traggo ancora la conclusione errata :
\[ a_n = (-1)^n\]
A questo punto ricontrollo la corretta impostazione di tutto il discorso dall'inizio, non vorrei che quel meno davanti a tutto sia errato (anche perchè non ho idea di dove altro cercare l'errore)
$ -((1x)/((1-x)(1-2x)))= -( a/(1-x) + b/(1-2x) ) = -((a ( 1 - 2 x ) + b ( 1 - x))/((1-x)(1-2x))) = -((a - 2xa + b - bx)/((1-x)(1-2x))) = -(((a + b) + x (-2a - b))/((1-x)(1-2x))) $
A questo punto procedo con il sistema (non considero il meno iniziale davanti alle parentesi!!!)
$\{(a + b = 0),(-2a - b = 1):} {(b = -a),(2a + b = -1):} {(b = -a),(2a - a = -1):}{(a = -1),(b = 1):}$
A questo punto mi trovo quindi che:
$A(x) = -((1x)/((1-x)(1-2x))) = -(-1/(1-x) + 1/(1-2x)) = +1/(1-x) - 1/(1-2x) = $
Pertanto:
\[ A(x) = \sum_{n=0}^\infty 1^n\ x^n - \sum_{n=0}^\infty 2^n\ x^n = \sum_{n=0}^\infty (1-2)^n\ x^n \]
da cui traggo ancora la conclusione errata :
\[ a_n = (-1)^n\]
A questo punto ricontrollo la corretta impostazione di tutto il discorso dall'inizio, non vorrei che quel meno davanti a tutto sia errato (anche perchè non ho idea di dove altro cercare l'errore)
Tralasciando per un attimo il problema del segno dell'esempio precedente sono passato ad altra esercitazione.
Sono arrivato a questo punto ma non sono sicuro di come comportarmi con la seguente situazione/serie:
$ A(x) = (1x)/(1-x)^2 $
$ A(x) = \sum_{n=0}^\infty ?? x^n$
Sono arrivato a questo punto ma non sono sicuro di come comportarmi con la seguente situazione/serie:
$ A(x) = (1x)/(1-x)^2 $
$ A(x) = \sum_{n=0}^\infty ?? x^n$
Buongiorno, scusate se vi rompo ancora le scatole, ma questo argomento proprio non mi vuole entrare in testa
Mi sono riguardato la lezione del professore che ha trattato esattamente una serie del tipo:
$ a_(n+1) = 2_(an-1)+1$
$ a_0 = 0 $
$ n>=0$
Termini successioni = $ 0,1,3,7, 15 $ ...etc ...... intuitivamente la forma esplicita è $ 2^n - 1 $
Ora nel suo svolgimento giunge a questo punto:
$ A(x) = x(2/(1-2x)-1/(1-x)) $
Poi accenna al fatto che la prima è la serie geometrica per $2x$ e la seconda la serie geometrica per $x$....ma non ho capito come faccio "matarialmente" a giungere a questa conclusione, e soprattutto come estrapolo sotto forma di serie il risultato (esempio $sum etc... -> a_n = 2^n-1 $ )
MI stanno facendo davvero impazzire queste cose, che apparentemente non sembrano neanche difficili...ma ogni volta c'è qualcosa che non mi torna e non trovo da nessuna parte dove schiarirmi una volta per tutte le idee
Mi sono riguardato la lezione del professore che ha trattato esattamente una serie del tipo:
$ a_(n+1) = 2_(an-1)+1$
$ a_0 = 0 $
$ n>=0$
Termini successioni = $ 0,1,3,7, 15 $ ...etc ...... intuitivamente la forma esplicita è $ 2^n - 1 $
Ora nel suo svolgimento giunge a questo punto:
$ A(x) = x(2/(1-2x)-1/(1-x)) $
Poi accenna al fatto che la prima è la serie geometrica per $2x$ e la seconda la serie geometrica per $x$....ma non ho capito come faccio "matarialmente" a giungere a questa conclusione, e soprattutto come estrapolo sotto forma di serie il risultato (esempio $sum etc... -> a_n = 2^n-1 $ )
MI stanno facendo davvero impazzire queste cose, che apparentemente non sembrano neanche difficili...ma ogni volta c'è qualcosa che non mi torna e non trovo da nessuna parte dove schiarirmi una volta per tutte le idee
Buonrgiono a tutti solo a titolo informativo, pare che con le serie/successioni per ricorrenza abbia cominciato ad acquisire dimestichezza
In teoria con il metodo precedentemente postato gentilmente da Gugo82 più o meno i generi che ho affrontato pare portino tutti al risultato finale corretto (anche se io prima lo sbaglio sempre un paio di volte)
In attesa dei prossimi dubbi ....per il momento grazie mille per l'aiuto
In teoria con il metodo precedentemente postato gentilmente da Gugo82 più o meno i generi che ho affrontato pare portino tutti al risultato finale corretto (anche se io prima lo sbaglio sempre un paio di volte)
In attesa dei prossimi dubbi
....per il momento grazie mille per l'aiuto
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