[Risolto] Risolvere l'Equazione nel Campo complesso
Salve Ragazzi ,
Ho un dubbio sulla risoluzione di quest'equazione :
$z^2 +|z^2 -1|=\frac{1}{2}(z+\bar{z})$
Ho provato a sostituire $z=x+iy$ $\qquad $e $\qquad$ $\bar{z}=x-iy$
Dalla teoria so inoltre che $|z|^2=z \cdot \bar{z}$ Ma non credo sia questo il caso..
La mia domanda è..come tratto $|z^2 -1|$ ?
dopo di ciò posso continuare con le sostituzioni per risolvere l'equazione?
Grazie in anticipo
Ho un dubbio sulla risoluzione di quest'equazione :
$z^2 +|z^2 -1|=\frac{1}{2}(z+\bar{z})$
Ho provato a sostituire $z=x+iy$ $\qquad $e $\qquad$ $\bar{z}=x-iy$
Dalla teoria so inoltre che $|z|^2=z \cdot \bar{z}$ Ma non credo sia questo il caso..
La mia domanda è..come tratto $|z^2 -1|$ ?
dopo di ciò posso continuare con le sostituzioni per risolvere l'equazione?
Grazie in anticipo
Risposte
Puoi sostituire a \(z\) \(a + ib\) come stai facendo ma attenzione, il modulo in campo complesso non è il valore assoluto reale! Infatti, ricordando che \(|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}\) hai: \(|z^2 -1|= |(a + ib)^2 - 1| = |a^2 - b^2 -1 + i 2ab| = \sqrt{(a^2 - b^2 -1)^2 + (2ab)^2}\)
Altrimenti puoi andare in forma polare e sostituire \(z = \rho e^{i\theta}\).
Saluti
Altrimenti puoi andare in forma polare e sostituire \(z = \rho e^{i\theta}\).
Saluti
Fai un po' di conti:
$$z^2-1=(x+iy)^2-1=...$$
e vi dicendo.
Comunque, io piuttosto che partire direttamente con le soluzioni, osserverei che $z+\bar{z}$ ha una certa particolarità, per cui, al fine di ottenere l'equazione, anche tutto $z^2+|z^2-1|$ deve avere la stessa caratteristica. E questo ti porta a porre una certa condizione sulla forma di $z$.
$$z^2-1=(x+iy)^2-1=...$$
e vi dicendo.
Comunque, io piuttosto che partire direttamente con le soluzioni, osserverei che $z+\bar{z}$ ha una certa particolarità, per cui, al fine di ottenere l'equazione, anche tutto $z^2+|z^2-1|$ deve avere la stessa caratteristica. E questo ti porta a porre una certa condizione sulla forma di $z$.
@Ciampax potresti essere piu chiaro? non ho capito molto...
@Emar ho provato a fare come dici tu ed ottengo :
$(x+iy)^2 + \sqrt((x^2-y^2-1)^2 +(2xy)^2)=x$ E' esatto?
@Emar ho provato a fare come dici tu ed ottengo :
$(x+iy)^2 + \sqrt((x^2-y^2-1)^2 +(2xy)^2)=x$ E' esatto?
Sai cos'è ${z+\bar{z}}/2$ per definizione? Che tipo di numero è? Una volta capito questo, anche il membro sinistro deve essere un numero dello stesso tipo. E questo porterà a fare delle ipotesi sulla forma di $z$.
Purtroppo non riesco a seguirti proprio...
No non conosco tale forma ma credo che sia un numero complesso.
No non conosco tale forma ma credo che sia un numero complesso.
"MillesoliSamuele":
@Emar ho provato a fare come dici tu ed ottengo :
$(x+iy)^2 + \sqrt((x^2-y^2-1)^2 +(2xy)^2)=x$ E' esatto?
Per essere esatto è esatto[strike], ma il grado dell'espressione si alza troppo e non ci ricavi più niente![/strike]
Non è proprio vero che non ci ricavi niente, puoi andare avanti fino ad ottenere un sistema e qualcosa ne esce, ma se ciampax ti propone una via più breve segui quella che sicuramente è più costruttiva!
Per definizione ${z+\bar{z}}/2=x$, la parte reale del numero complesso $z$. Questo vuol dire che il membro destro è un numero reale. Ora però, a sinistra hai la somma $z^2+|z^2-1|$: mentre il modulo del numero complesso è anch'esso un numero reale, stessa cosa non si può dire per il quadrato, in quanto
$$z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy$$
Ora, due numeri complessi sono uguali quando hanno uguale parte reale e parte immaginaria: ma dal momento che a destra la parte immaginaria è pari a zero, deve essere pure $2xy=0$. Questo porta a due possibili conclusioni:
1) $x=0$, cioè $z=iy$ e l'equazione diventa $-y^2+|-y^2-1|=0$
2) $y=0$, cioè $z=x$ e l'equazione diventa $x^2+|x^2-1|=x$
che sono due equazioni reali. A te il compito di risolverle.
$$z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy$$
Ora, due numeri complessi sono uguali quando hanno uguale parte reale e parte immaginaria: ma dal momento che a destra la parte immaginaria è pari a zero, deve essere pure $2xy=0$. Questo porta a due possibili conclusioni:
1) $x=0$, cioè $z=iy$ e l'equazione diventa $-y^2+|-y^2-1|=0$
2) $y=0$, cioè $z=x$ e l'equazione diventa $x^2+|x^2-1|=x$
che sono due equazioni reali. A te il compito di risolverle.
Non la sapevo questa definizione , grazie!!
Quindi se ho ben capito . Avrò :
$x^2 -y^2 +2ixy+|x^2-y^2+2ixy-1|=x$
e quindi ora devo accoppiare le parti reali e le parti immaginarie :
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
x^2 -y^2 +|x^2-y^2-1|=x \\
4ixy=0\\
\end{array}
$$
Se x=0
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
x=0\\
-1=0\\
\end{array}
$$ Mai soddisfatta
se y=0
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
y=0\\
x^2 +|x^2-1|=x\\
\end{array}
$$
Solo che ora ottengo un $\Delta$ negativo
....
Dovrei distinguere se x è negativo o positivo? cosi facendo allora avrò
Se $x\geq 0$
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
y=0\\
x^2 -x +1=0\\
\end{array}
$$ Nessuna soluzione
se $x<0$
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
y=0\\
x=1\\
\end{array}
$$ e quindi $z=1+0i$
Wolframalpha dice $z=1+0i$
Il ragionamento è corretto?
Quindi se ho ben capito . Avrò :
$x^2 -y^2 +2ixy+|x^2-y^2+2ixy-1|=x$
e quindi ora devo accoppiare le parti reali e le parti immaginarie :
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
x^2 -y^2 +|x^2-y^2-1|=x \\
4ixy=0\\
\end{array}
$$
Se x=0
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
x=0\\
-1=0\\
\end{array}
$$ Mai soddisfatta
se y=0
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
y=0\\
x^2 +|x^2-1|=x\\
\end{array}
$$
Solo che ora ottengo un $\Delta$ negativo
....Dovrei distinguere se x è negativo o positivo? cosi facendo allora avrò
Se $x\geq 0$
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
y=0\\
x^2 -x +1=0\\
\end{array}
$$ Nessuna soluzione
se $x<0$
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
y=0\\
x=1\\
\end{array}
$$ e quindi $z=1+0i$
Wolframalpha dice $z=1+0i$
Il ragionamento è corretto?
Per $x=0$ effettivamente non hai soluzioni. Per $y=0$, invece, l'equazione si scompone nei due casi seguenti
1) $x^2+x^2-1=x$ se $x^2-1\ge 0$;
2) $x^2-x^2+1=x$ se $x^2-1<0$.
Il fatto che tu non conosca la definizione di parte reale di un numero complesso è MALE: come fai a lavorare a queste cose, senza sapere di cosa stai parlando? Senti a me, vai a studiare, prima di lanciarti con un paracadute bucato giù da un aereo a 15000 metri d'altezza.
1) $x^2+x^2-1=x$ se $x^2-1\ge 0$;
2) $x^2-x^2+1=x$ se $x^2-1<0$.
Il fatto che tu non conosca la definizione di parte reale di un numero complesso è MALE: come fai a lavorare a queste cose, senza sapere di cosa stai parlando? Senti a me, vai a studiare, prima di lanciarti con un paracadute bucato giù da un aereo a 15000 metri d'altezza.
Ma guarda che la teoria la so , semplicemente non ero a conoscenza di tale definizione , tra l'altro facendo le sostituzioni adeguate ci sarei arrivato tranquillamente .
Comunque ti ringrazio per l'aiuto e la disponibilità
Ora ho capito come si svolge .
Grazie ancora .
Comunque ti ringrazio per l'aiuto e la disponibilità
Ora ho capito come si svolge .
Grazie ancora .
Conosci la teoria e non conosci la definizione di parte reale? A me sembra davvero molto strano, visto che su qualsiasi libro che tratti i numeri complessi, subito dopo lo scrivere "si definisce numero complesso un numero del tipo $z=x+iy$", viene anche detto che $x$ si chiama parte reale e che, definendo il coniugato di $z$, si ha pure $x=\frac{z+\bar{z}}{2}$. Ma va bene, se conosci la teoria così, allora buona fortuna all'esame: se venissi a farlo da me in questo modo, ti inviterei ad uscire dopo i primi 4 secondi. Ti ripeto: secondo me stai studiando "male", ma obbiettivamente hai ragione, probabilmente non sono affari miei e ognuno è libero di fare come la pensa. Io ti consiglio solo di stare attento a cosa combini, dal punto di vista di Docente rompiscatole. Poi fai tu: se sei convinto di aver studiato bene, allora vai e stupiscici.
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