Risolto: Risoluzione integrale
Salve a tutti, sto tentando di risolvere il seguente integrale
L'immagine è tratta da Wolfram Alpha che per risolvere l'integrale lo riscrive in due frazioni ma non ho capito che regole usa per farlo.
Ringrazzio tutti coloro che mi aiuteranno.
L'immagine è tratta da Wolfram Alpha che per risolvere l'integrale lo riscrive in due frazioni ma non ho capito che regole usa per farlo.
Ringrazzio tutti coloro che mi aiuteranno.
Risposte
Ha semplicemente riscritto il denominatore in modo da avere una funzione al denominatore e la sua derivata al numeratore, per poter integrare.
Ma non ho capito che passaggi praticamente ha fatto
Ha moltiplicato per 2 e diviso per 2, e ha aggiunto e sottratto 2 al numeratore. In pratica quindi non ha fatto niente, ma così si è ricondotto a una funzione a denominatore e la sua derivata a numeratore, e quindi l'integrale ora è immediato.
Ma nella prima frazione dell'integrale riscritto il 2 che moltiplica il denominatore che fine fa? Moltiplica il denominatore o altro?
Noi sappiamo che $int ((f'(x))/f(x))dx = log|f(x)| +c$
Tu hai quasi qualcosa del genere, per poter avere al numeratore la derivata del denominatore devi usare questo "trucchetto":
$x/(x^2+2x+5) = 1/2(2x)/(x^2+2x+5)$. Abbiamo moltiplicato e diviso per due.
Ora per avere al numeratore la derivata del denominatore manca qualcosa (un $+2$), quindi ora aggiungiamo e togliamo 2:
$1/2(2x+2-2)/(x^2+2x+5)=(2x+2)/(2(x^2+2x+5))-2/(2(x^2+2x+5))$
dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplicemente spezzato in due la frazione.
Ora ci sei?
Tu hai quasi qualcosa del genere, per poter avere al numeratore la derivata del denominatore devi usare questo "trucchetto":
$x/(x^2+2x+5) = 1/2(2x)/(x^2+2x+5)$. Abbiamo moltiplicato e diviso per due.
Ora per avere al numeratore la derivata del denominatore manca qualcosa (un $+2$), quindi ora aggiungiamo e togliamo 2:
$1/2(2x+2-2)/(x^2+2x+5)=(2x+2)/(2(x^2+2x+5))-2/(2(x^2+2x+5))$
dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplicemente spezzato in due la frazione.
Ora ci sei?
Un ultimo dubbio. Nel spezzare l'integrale non è meglio scrivere
$ 1/2(2x+2-2)/(x^2+2x+5)= 1/2( (2x+2)/(x^2+2x+5)-2/(x^2+2x+5) ) $
in questo modo l'integrale?
$ 1/2(2x+2-2)/(x^2+2x+5)= 1/2( (2x+2)/(x^2+2x+5)-2/(x^2+2x+5) ) $
in questo modo l'integrale?
Certo, ho lasciato scritto in quel modo per farti capire che passaggi ho fatto.
Il primo integrale l'ho risolto ma mi sono bloccato nella risoluzione del secondo, sono arrivato a questo punto
$ -2 \int 1/(y^2+4) $
se non sbaglio il risultato è un arcotangente, ma non so come arrivarci
$ -2 \int 1/(y^2+4) $
se non sbaglio il risultato è un arcotangente, ma non so come arrivarci
prova a mettere in evidenza il 4 al denominatore...
Li ci sono arrivato ma non riesco a non capire come la derivata di $ y/sqrt(4) $ sia $ 1/2 $
devi operare un'altra sostituzione...
Si, ho effettuato male i calcoli anche questa è semplice
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