[Risolto] Primitiva di sen(1/x)
Mi sono imbattuto nel seguente problema.
Consideriamo la funzione $f: RR -> RR$ tale che $AA x\ne 0 : f(x)="sen"(1/x)$ e $f(0)=0$.
Ora, questa funzione ammette primitiva su tutto $RR$?
Chiaramente l'ammette per gli x non nulli.
Inoltre, essendo limitata e continua ovunque tranne che in un punto, è integrabile secondo Riemann sugl'intervalli chiusi e limitati. Da qui ho che se una primitiva esiste essa deve essere una funzione integrale, essendo entrambe continue.
E quindi ho il problema equivalente:
$\int_0^x "sen"(1/t) dt$ è derivabile in 0?
(essendo una funzione pari, se è derivabile la derivata è necessariamente 0).
Consideriamo la funzione $f: RR -> RR$ tale che $AA x\ne 0 : f(x)="sen"(1/x)$ e $f(0)=0$.
Ora, questa funzione ammette primitiva su tutto $RR$?
Chiaramente l'ammette per gli x non nulli.
Inoltre, essendo limitata e continua ovunque tranne che in un punto, è integrabile secondo Riemann sugl'intervalli chiusi e limitati. Da qui ho che se una primitiva esiste essa deve essere una funzione integrale, essendo entrambe continue.
E quindi ho il problema equivalente:
$\int_0^x "sen"(1/t) dt$ è derivabile in 0?
(essendo una funzione pari, se è derivabile la derivata è necessariamente 0).
Risposte
Partiamo dal presupposto che il teorema fondamentale del calcolo integrale non puo' dirci nulla in $ 0 $ in quanto le sue ipotesi sono che :
$ f:[a,b]→R $
$ xo∈[a,b] $
$ x∈[a,b] $
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, però, nelle ipotesi sopraelencate:
$ lim_(h -> 0) (int_(xo)^(x+h)f(t) dt - int_(xo)^(x) f(t) dt)/h =f(x) $
quindi sto dicendo che in generale la derivata di una generica
$ F(x) = int_(xo)^(x) f(t) dt $ vale proprio $ F'(x) = f(x) $ ;
Stiamo pensando di asserire dunque che , preso un generico punto a
$ (d(int_(a)^(x)sin (1/t)dt))/(d x) = sin(1/x) $
quindi calcolata in un determinato punto $ xo $ essa vale $ sin(1/(xo)) $
ma chiaramente risulta che $ f(x)= sin(1/x) $ non è una funzione continua nell'origine.
La derivata di $ F(x) = int_(a)^(x) sin(1/t) dt $ che esiste $ AA x != 0 $ è comunque una funzione non continua in $ 0 $
concludo adesso che $ F(x) = int_(a)^(x) sin(1/t) dt $ non è derivabile nel punto $ 0 $
$ f:[a,b]→R $
$ xo∈[a,b] $
$ x∈[a,b] $
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, però, nelle ipotesi sopraelencate:
$ lim_(h -> 0) (int_(xo)^(x+h)f(t) dt - int_(xo)^(x) f(t) dt)/h =f(x) $
quindi sto dicendo che in generale la derivata di una generica
$ F(x) = int_(xo)^(x) f(t) dt $ vale proprio $ F'(x) = f(x) $ ;
Stiamo pensando di asserire dunque che , preso un generico punto a
$ (d(int_(a)^(x)sin (1/t)dt))/(d x) = sin(1/x) $
quindi calcolata in un determinato punto $ xo $ essa vale $ sin(1/(xo)) $
ma chiaramente risulta che $ f(x)= sin(1/x) $ non è una funzione continua nell'origine.
La derivata di $ F(x) = int_(a)^(x) sin(1/t) dt $ che esiste $ AA x != 0 $ è comunque una funzione non continua in $ 0 $
concludo adesso che $ F(x) = int_(a)^(x) sin(1/t) dt $ non è derivabile nel punto $ 0 $
mmm...
Io avrei detto che la funzione \(F(x) := \int_0^x \sin\frac{1}{t}\, dt\) è derivabile (con derivata nulla) anche nell'origine, ma forse mi sbaglio.
Io avrei detto che la funzione \(F(x) := \int_0^x \sin\frac{1}{t}\, dt\) è derivabile (con derivata nulla) anche nell'origine, ma forse mi sbaglio.
Il fatto che per gli x non nulli la derivata di $\int_0^x "sen"(1/t)dt$ fosse proprio $"sen"(1/x)$ l'avevo sottinteso asserendo l'equivalenza dei due problemi...
Tuttavia ciò ci dice solo che la derivata non può essere continua in 0, non che non possa esistere :S.
Tuttavia ciò ci dice solo che la derivata non può essere continua in 0, non che non possa esistere :S.
Se siamo d'accordo che $ AA x != 0 $ $ F'(x) = sin(1/x) $
facendo $ lim_(x -> 0^(+)) sin(1/x) $ ci accorgiamo che esso non può esistere così come il limite a $ 0^(-) $
quindi stiamo dicendo che la derivata per tutti i punti diversi dall'origine si comporta come $ sin(1/x) $ e nell'origine non ammette limite.. questo mi porta ad affermare che nell'origine essa non esista.
facendo $ lim_(x -> 0^(+)) sin(1/x) $ ci accorgiamo che esso non può esistere così come il limite a $ 0^(-) $
quindi stiamo dicendo che la derivata per tutti i punti diversi dall'origine si comporta come $ sin(1/x) $ e nell'origine non ammette limite.. questo mi porta ad affermare che nell'origine essa non esista.
Non che non porta ad affermarlo, poiché il fatto che il limite non esista ci dice che la derivata non può essere continua, non che non esiste.
Il fatto che il limite per x->0 non esista ci dice che la derivata non può essere continua, siamo d'accordo.
Di che discontinuità si tratterà? Valutiamo limite destro e sinistro:
Se fossero finiti e distinti avrei una discontinuità di prima specie, ma non è così;
Se risultasse il limite destro o il limite sinistro infinito e l'altro finito, o entrambi infiniti avrei una discontinuità di seconda specie, ma non è così;
(Di quella di terza specie non ne parlo proprio perchè in 0 la funzione non è definita.)
Risulta che i due limiti destro e sinistro entrambi non esistono,sia da destra che da sinistra la funzione oscilla su e giù infinite volte senza ammettere limite..
Io capisco che anche se parliamo di quanto valga la derivata di sin(x) a + infinito la risposta è che non esiste perchè il limite di cos(x) a + infinito non esiste, però ci immaginiamo che all'infinito quella dannata tangente abbia un coefficiente angolare, sono d'accordo però forse il problema è l'infinito di per sè non esiste come unico punto in cui valutare una proprietà ma solo come limite. La risposta è che non ammette un unico valore definitivo, non esiste un unico valore della derivata che resta costante nell'avvicinarsi all'origine. Sale su e giù infinite volte, è per questo che continuo a dire che la derivata non esiste, ma non perchè non ci sia la retta tangente ma perchè non ne esiste un unico valore definitivo.
Spero di aver espresso con chiarezza la mia idea e di esserti stato d'aiuto.
Di che discontinuità si tratterà? Valutiamo limite destro e sinistro:
Se fossero finiti e distinti avrei una discontinuità di prima specie, ma non è così;
Se risultasse il limite destro o il limite sinistro infinito e l'altro finito, o entrambi infiniti avrei una discontinuità di seconda specie, ma non è così;
(Di quella di terza specie non ne parlo proprio perchè in 0 la funzione non è definita.)
Risulta che i due limiti destro e sinistro entrambi non esistono,sia da destra che da sinistra la funzione oscilla su e giù infinite volte senza ammettere limite..
Io capisco che anche se parliamo di quanto valga la derivata di sin(x) a + infinito la risposta è che non esiste perchè il limite di cos(x) a + infinito non esiste, però ci immaginiamo che all'infinito quella dannata tangente abbia un coefficiente angolare, sono d'accordo però forse il problema è l'infinito di per sè non esiste come unico punto in cui valutare una proprietà ma solo come limite. La risposta è che non ammette un unico valore definitivo, non esiste un unico valore della derivata che resta costante nell'avvicinarsi all'origine. Sale su e giù infinite volte, è per questo che continuo a dire che la derivata non esiste, ma non perchè non ci sia la retta tangente ma perchè non ne esiste un unico valore definitivo.
Spero di aver espresso con chiarezza la mia idea e di esserti stato d'aiuto.
@Bombi:
il fatto che non esista il limite della derivata in un certo punto \(x_0\) nulla permette di concludere sulla derivabilità in \(x_0\).
@_fabricius_:
vediamo di fare un paio di conti. Tenendo conto della simmetria di \(f\), per dimostrare che \(F\) è derivabile nell'origine (con derivata nulla) basta far vedere che
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{F(x)}{x} = 0.
\]
Facendo il cambiamento di variabile \(y = 1/x\) nel limite e \(s = 1/t\) nell'integrale abbiamo che
\[
(1) \qquad
\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} \int_0^x \sin\frac{1}{t} \, dt
= \lim_{y\to +\infty} y \int_y^{+\infty} \frac{\sin s}{s^2}\, ds.
\]
Con un'integrazione per parti si ha, per \(y > 0\),
\[
y \int_y^{+\infty} \frac{\sin s}{s^2}\, ds = \frac{\cos y}{y} - 2y \int_y^{+\infty} \frac{\cos s}{s^3}\, ds\,.
\]
D'altra parte, sempre per \(y > 0\),
\[
\left| y \int_y^{+\infty} \frac{\cos s}{s^3}\, ds\right|
\leq y \int_y^{+\infty} \frac{1}{s^3}\, ds = \frac{1}{2y},
\]
per cui possiamo concludere che il limite in (1) esiste e vale \(0\).
il fatto che non esista il limite della derivata in un certo punto \(x_0\) nulla permette di concludere sulla derivabilità in \(x_0\).
@_fabricius_:
vediamo di fare un paio di conti. Tenendo conto della simmetria di \(f\), per dimostrare che \(F\) è derivabile nell'origine (con derivata nulla) basta far vedere che
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{F(x)}{x} = 0.
\]
Facendo il cambiamento di variabile \(y = 1/x\) nel limite e \(s = 1/t\) nell'integrale abbiamo che
\[
(1) \qquad
\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} \int_0^x \sin\frac{1}{t} \, dt
= \lim_{y\to +\infty} y \int_y^{+\infty} \frac{\sin s}{s^2}\, ds.
\]
Con un'integrazione per parti si ha, per \(y > 0\),
\[
y \int_y^{+\infty} \frac{\sin s}{s^2}\, ds = \frac{\cos y}{y} - 2y \int_y^{+\infty} \frac{\cos s}{s^3}\, ds\,.
\]
D'altra parte, sempre per \(y > 0\),
\[
\left| y \int_y^{+\infty} \frac{\cos s}{s^3}\, ds\right|
\leq y \int_y^{+\infty} \frac{1}{s^3}\, ds = \frac{1}{2y},
\]
per cui possiamo concludere che il limite in (1) esiste e vale \(0\).
Splendido!
Grazie mille Rigel!
Grazie mille Rigel!
Ok, ho capito il vostro procedimento ed anche il mio errore.
Nel ragionare sulla derivabilità di F continuavo a pensare alla derivabilità di f.
Ho preso proprio una svista.
Nel ragionare sulla derivabilità di F continuavo a pensare alla derivabilità di f.
Ho preso proprio una svista.
Per definizione, \(F\) è derivabile in \(0\) se e solo se esiste finito il limite del rapporto incrementale
\[
\lim_{x\to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{F(x)}{x}\,.
\]
Poiché \(f\) è dispari, \(F\) è pari, \(\frac{F(x)}{x}\) è dispari; di conseguenza il limite sinistro e destro in \(0\), se esistono, sono opposti. In conclusione, il limite (complessivo) esiste finito se e solo se uno dei due limiti direzionali esiste e vale \(0\).
\[
\lim_{x\to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{F(x)}{x}\,.
\]
Poiché \(f\) è dispari, \(F\) è pari, \(\frac{F(x)}{x}\) è dispari; di conseguenza il limite sinistro e destro in \(0\), se esistono, sono opposti. In conclusione, il limite (complessivo) esiste finito se e solo se uno dei due limiti direzionali esiste e vale \(0\).
Perfetto, grazie.
Propongo anche la seguente dimostrazione alternativa.
La funzione
\[
f_1(x) :=
\begin{cases}
2x\, \cos(1/x), & \text{se}\ x\neq 0,\\
0, & \text{se}\ x = 0,
\end{cases}
\]
è continua, dunque ammette una primitiva \(F_1\).
La funzione
\[
F_2(x) :=
\begin{cases}
x^2\, \cos(1/x), & \text{se}\ x\neq 0,\\
0, & \text{se}\ x = 0,
\end{cases}
\]
è derivabile su tutto \(\mathbb{R}\) e la sua derivata vale \(0\) nell'origine e
\[
F_2'(x) = 2x\, \cos(1/x) + \sin(1/x), \qquad x\neq 0,
\]
cioè \(F_2' = f_1 + f\).
Di conseguenza, la funzione derivabile \(F = F_2 - F_1\) è una primitiva di \(f\).
La funzione
\[
f_1(x) :=
\begin{cases}
2x\, \cos(1/x), & \text{se}\ x\neq 0,\\
0, & \text{se}\ x = 0,
\end{cases}
\]
è continua, dunque ammette una primitiva \(F_1\).
La funzione
\[
F_2(x) :=
\begin{cases}
x^2\, \cos(1/x), & \text{se}\ x\neq 0,\\
0, & \text{se}\ x = 0,
\end{cases}
\]
è derivabile su tutto \(\mathbb{R}\) e la sua derivata vale \(0\) nell'origine e
\[
F_2'(x) = 2x\, \cos(1/x) + \sin(1/x), \qquad x\neq 0,
\]
cioè \(F_2' = f_1 + f\).
Di conseguenza, la funzione derivabile \(F = F_2 - F_1\) è una primitiva di \(f\).
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