[Risolto] Modulo della Jacobiana nel calcolo di un flusso
Salve ragazzi, so che la domanda e` gia` stata posta, ma non mi e` ancora chiara la cosa. So che la jacobiana per un cambiamento di coordinate va messo per risolvere qualsiasi integrale, sempre se faccio un cambiamento di coordinate. Il professore sul sito presenta questo esercizio pero`:
Campo v(x,y,z) = (0,y,z) e la superficie e` $ Sigma $ = { $ x^2 = 4(y^2+z^2), x in [1,2] $ }
Calcola il flusso di v in $ Sigma $
Il professore fa un cambio di coordinate cilindriche parametrizzando la superficie a (2r, r*cos($ vartheta $),r*sin($ vartheta $)), calcola la normale e poi il flusso facendo semplicemente l'integrale doppio del prodotto scalare tra il campo (parametrizzato) e la normale.. Il punto e`, non mette il determinante della jacobiana. Perche`?
Campo v(x,y,z) = (0,y,z) e la superficie e` $ Sigma $ = { $ x^2 = 4(y^2+z^2), x in [1,2] $ }
Calcola il flusso di v in $ Sigma $
Il professore fa un cambio di coordinate cilindriche parametrizzando la superficie a (2r, r*cos($ vartheta $),r*sin($ vartheta $)), calcola la normale e poi il flusso facendo semplicemente l'integrale doppio del prodotto scalare tra il campo (parametrizzato) e la normale.. Il punto e`, non mette il determinante della jacobiana. Perche`?
Risposte
Spero di non dire cose sbagliate, ma lo jacobiano è già "compreso" nella lunghezza della normale che calcoli.
Quindi, o usi il versore normale (modulo 1) e allora lo devi moltiplicare per lo jacobiano, oppure tieni la normale con la sua lunghezza "naturale" e fai lo scalare col campo.
Quindi, o usi il versore normale (modulo 1) e allora lo devi moltiplicare per lo jacobiano, oppure tieni la normale con la sua lunghezza "naturale" e fai lo scalare col campo.
Ciao grazie per avermi risposto, in effetti la normale non va normalizzata, ma puo` essere lasciata cosi` com'e` perche` il modulo al denominatore si semplifica con un modulo che sta sopra.. Questo e` il modulo per prodotto vettoriale delle due derivate parziali.. Non e` la jacobiana, che di per se' e` il modulo della matrice della trasformazione, che non ha niente a che fare con le derivate parziali.. Lo scrivo non per correggerti ma per vedere se ho le idee chiare in testa.
Forse (e dico forse) non c'e` il jacobiano perche` non c'e` stato un cambio vero e proprio di coordinate, ma e` stata solo parametrizzata da zero. Dico cavolate?
Il dubbio mi e` sorto perche` in un altro esercizio vi era una superficie parametrizzata a (u+v,$ u^2-v^2 $,u-v), e io ho fatto un cambio di coordinate t=u+v, s=u-v. Se non metto la jacobiana, non viene (potrebbe pero` essere che io abbia sbagliato qualcos'altro).
Forse (e dico forse) non c'e` il jacobiano perche` non c'e` stato un cambio vero e proprio di coordinate, ma e` stata solo parametrizzata da zero. Dico cavolate?
Il dubbio mi e` sorto perche` in un altro esercizio vi era una superficie parametrizzata a (u+v,$ u^2-v^2 $,u-v), e io ho fatto un cambio di coordinate t=u+v, s=u-v. Se non metto la jacobiana, non viene (potrebbe pero` essere che io abbia sbagliato qualcos'altro).
ciao 
leggevo la domanda e mi chiedevo: come ha fatto a parametrizzare in tal modo in coord. cilindriche? Grazie
leggevo la domanda e mi chiedevo: come ha fatto a parametrizzare in tal modo in coord. cilindriche? Grazie
Vediamo.. Allora, per definizione, le coordinate cilindriche sono del tipo
$ { ( x = x ),( y = r cos(t) ),( z = r sin(t) ):} $
Ma, la superficie e` caratterizzata da x = $ 2sqrt(y^2+z^2) $ , ed essendo quella radice uguale al raggio r ( $ sqrt((r cos(t))^2+(r sin(t) )^2) $ = r ), x = 2r
Tutto qui, da questo ricava (2r, r cos(t), r sin(t))
$ { ( x = x ),( y = r cos(t) ),( z = r sin(t) ):} $
Ma, la superficie e` caratterizzata da x = $ 2sqrt(y^2+z^2) $ , ed essendo quella radice uguale al raggio r ( $ sqrt((r cos(t))^2+(r sin(t) )^2) $ = r ), x = 2r
Tutto qui, da questo ricava (2r, r cos(t), r sin(t))
grazie!
"iverie":
Forse (e dico forse) non c'e` il jacobiano perche` non c'e` stato un cambio vero e proprio di coordinate, ma e` stata solo parametrizzata da zero. Dico cavolate?
Quello che dici è giusto. Il jacobiano ce l'hai quando cambi coordinate all'interno dell'integrale, altrimenti, come nel tuo caso, è già tutto contenuto nell' "elemento d'area" \(\|r_u \times r_v\|dudv\)
Okay grazie mille 
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