[RISOLTO] L'origine e' un punto di sella?

[giuscri]

Testo: verificare che \[f(x,y) = 4xy + x^4 + y^4 - 2x^2 - 2y^2\] abbia un punto di sella nell'origine.

Osservazione iniziale: l'origine e' senz'altro un punto stazionario; piu' chiaramente - in intorni dello zero - posso scrivere \[f(x,y) = -2x^2 - 2y^2 + 4xy + o(x^2 + y^2)\] facendo caso alla mancanza di termini di primo grado - il gradiente e' nullo.

Mi accorgo inoltre che muovendomi in `verticale` e in `orizzontale` (lungo gli assi coordinati) la funzione ha un minimo nell'origine.
Per caso ho tentato di verificare che la funzione, ristretta ai punti del tipo \((-t, t)\) avesse un massimo nell'origine.

Vista l'alta regolarita' della funzione, forse una strada breve consiste nello studiarsi la derivata direzionale (rispetto al versore \(\underline{v} = (\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\)) - prodotto gradiente per \(\overline{v}\).

Effettivamente trovo con pochi conti che la funzione ha un massimo nell'origine se ci si muove lungo \((-t, t)\); mentre muovendosi lungo \((0, t)\) o lungo \((t, 0)\) la funzione ha un minimo. Quindi \((0,0)\) non e' ne' massimo ne' minimo (e' quindi un punto di sella?)

Com'e' l'idea? Ci sono modi piu' standard e/o piu' eleganti?
Ringrazio.

[giuscri]

Ho cercato un po' di materiale facilotto sul calcolo degli autovettori - dato che non mi è ancora capitato di studiare l'argomenti all'università. Mi sembra che la cosa funzioni - anche se non so perchè c'entrino gli autovettori, ma non è importante in questo preciso momento.

Be' TeM, ti ringrazio. Ciao!