[Risolto] Integrale curvilineo di I specie: indipendenza dalla parametrizzazione
Salve, sto preparando Analisi 2 e sto passando in rassegna il programma.
Non riesco a trovare la dimostrazione del fatto che l'integrale curvilineo di prima specie non dipende dalla parametrizzazione usata per la curva nè tanto meno dall'orientazione.
Sul libro che uso non c'è traccia della dimostrazione (questa proprietà viene enunciata insieme alla linearità rispetto l'integranda e all'additività rispetto al cammino di integrazione) poichè viene lasciata per esercizio, cosa che mi fa supporre che sia abbastanza semplice.
Ho abbozzato qualche idea, ma non riesco a stracciarmici.
Potete aiutarmi per favore?
Non riesco a trovare la dimostrazione del fatto che l'integrale curvilineo di prima specie non dipende dalla parametrizzazione usata per la curva nè tanto meno dall'orientazione.
Sul libro che uso non c'è traccia della dimostrazione (questa proprietà viene enunciata insieme alla linearità rispetto l'integranda e all'additività rispetto al cammino di integrazione) poichè viene lasciata per esercizio, cosa che mi fa supporre che sia abbastanza semplice.
Ho abbozzato qualche idea, ma non riesco a stracciarmici.
Potete aiutarmi per favore?
Risposte
Prova a postare quello che ti è venuto in mente: in effetti non è difficile e, da un certo punto di vista, è qualcosa che si avvicina molto alla dimostrazione della formula di cambiamento di variabile in un integrale in una variabile.
Punta l'obbiettivo sulla relazioni tra l'integrale di linea di prima specie e la parametrizzazione
della curva lungo la quale si integra
;
Tieni presente che l'integrazione lungo linee di prima specie è un'integrazione di campi scalari ed osserva che la nozione di integrale di linea di campi scalari non è la generalizzazione dell'integrale di Riemann classico per funzioni di variabile reale su un intervallo $[a,b]$; Ne segue che la definizione di integrale di linea di prima specie ha senso se e solo se il valore dell'integrale curvilineo non dipende dalla scelta della parametrizzazione : ciò discende dal cambiamento di variabile per integrali
.
della curva lungo la quale si integra
;Tieni presente che l'integrazione lungo linee di prima specie è un'integrazione di campi scalari ed osserva che la nozione di integrale di linea di campi scalari non è la generalizzazione dell'integrale di Riemann classico per funzioni di variabile reale su un intervallo $[a,b]$; Ne segue che la definizione di integrale di linea di prima specie ha senso se e solo se il valore dell'integrale curvilineo non dipende dalla scelta della parametrizzazione : ciò discende dal cambiamento di variabile per integrali
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Ok, credo di aver trovato il modo di arrivarci:
Date due parametrizzazioni \(\displaystyle r:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^3 \) e \(\displaystyle \tilde{r}:[\alpha,\beta] \rightarrow \mathbb{R}^3 \) della stessa curva \(\displaystyle \gamma \), posso supporre che la seconda si ottenga, con un cambio di parametrizzazione, dalla prima. Deve esistere una funzione \(\displaystyle \phi: [\alpha,\beta] \rightarrow [a,b] \) con \(\displaystyle \phi(\tau)\in C^1([\alpha,\beta]) \) tale che \(\displaystyle \tilde{r}(\tau) = r(\phi(\tau)) \).
L'integrale calcolato usando la prima parametrizzazione diventa quindi:
\(\displaystyle \int_{\gamma}f\text{d}s = \int_{a}^{b} f(r(t))||\dot{r}(t)||\text{d}t = \int_{\alpha}^{\beta} f(r(\phi(\tau)))||\dot{r}(\phi(\tau))||\dot{\phi}(\tau)\text{d}\tau = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tilde{r}(\tau))||\dot{\tilde{r}}(\tau)||\text{d}\tau \)
È già un passo avanti, ma credo di doverla raffinare un po'. Un bel po'.
Date due parametrizzazioni \(\displaystyle r:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^3 \) e \(\displaystyle \tilde{r}:[\alpha,\beta] \rightarrow \mathbb{R}^3 \) della stessa curva \(\displaystyle \gamma \), posso supporre che la seconda si ottenga, con un cambio di parametrizzazione, dalla prima. Deve esistere una funzione \(\displaystyle \phi: [\alpha,\beta] \rightarrow [a,b] \) con \(\displaystyle \phi(\tau)\in C^1([\alpha,\beta]) \) tale che \(\displaystyle \tilde{r}(\tau) = r(\phi(\tau)) \).
L'integrale calcolato usando la prima parametrizzazione diventa quindi:
\(\displaystyle \int_{\gamma}f\text{d}s = \int_{a}^{b} f(r(t))||\dot{r}(t)||\text{d}t = \int_{\alpha}^{\beta} f(r(\phi(\tau)))||\dot{r}(\phi(\tau))||\dot{\phi}(\tau)\text{d}\tau = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tilde{r}(\tau))||\dot{\tilde{r}}(\tau)||\text{d}\tau \)
È già un passo avanti, ma credo di doverla raffinare un po'. Un bel po'.
Hai finito, non c'è altro da dire. 
Potresti giustificare l'esistenza di $\phi$, volendo, ma in sostanza la dimostrazione è questa.
Potresti giustificare l'esistenza di $\phi$, volendo, ma in sostanza la dimostrazione è questa.
Ecco ecco, sono riuscito a trovare una motivazione dettagliata anche del perchè il risultato non dipenda dall'orientazione.
Supponendo che \(\displaystyle a>b \) se \(\displaystyle a=\phi(\alpha) \) e \(\displaystyle b=\phi(\beta) \) allora \(\displaystyle \phi(\tau) \) è crescente, viceversa è decrescente:
Supponendo che \(\displaystyle a>b \) se \(\displaystyle a=\phi(\alpha) \) e \(\displaystyle b=\phi(\beta) \) allora \(\displaystyle \phi(\tau) \) è crescente, viceversa è decrescente:
[*:i9tedh9b]\(\displaystyle \dot{\phi}(\tau) > 0 \ \ \forall \tau \in [\alpha,\beta] \)[/*:i9tedh9b]
\( \displaystyle \int_{\gamma}f\text{d}s = \int_{a}^{b} f(r(t))||\dot{r}(t)||\text{d}t = \int_{\alpha}^{\beta} f(r(\phi(\tau)))||\dot{r}(\phi(\tau))||\dot{\phi}(\tau)\text{d}\tau = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tilde{r}(\tau))||\dot{\tilde{r}}(\tau)||\text{d}\tau \)
[*:i9tedh9b]\( \displaystyle \dot{\phi}(\tau) < 0 \ \ \forall \tau \in [\alpha,\beta] \)[/*:i9tedh9b]
\( \displaystyle \int_{\gamma}f\text{d}s = \int_{a}^{b} f(r(t))||\dot{r}(t)||\text{d}t = \int^{\alpha}_{\beta} f(r(\phi(\tau)))||\dot{r}(\phi(\tau))||\dot{\phi}(\tau)\text{d}\tau = \int_{\alpha}^{\beta} f(r(\phi(\tau)))||\dot{r}(\phi(\tau))||(-\dot{\phi}(\tau))\text{d}\tau \)
e poichè \( \displaystyle -\dot{\phi}(\tau) > 0 \ \ \forall \tau \in [\alpha,\beta] \) allora l'integrale diventa* \(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(\tilde{r}(\tau))||\dot{\tilde{r}}(\tau)||\text{d}\tau \)
[/list:u:i9tedh9b]
Bene, era più semplice del previsto. Grazie
(*: sarà giusto dal punto di vista logico questo passaggio?)
Bravo
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