[RISOLTO] esercizio definizione di sommatoria/serie
Ciao a tutti.
Non mi è molto chiaro cosa devo fare..
Devo dare la definizione di:
$sum a_k $ da $k=1 $ ad $infty$
Allora io ho scritto che da una successione formata da infiniti termini dei quali si vuole calcolare la somma, si costruisce la successione delle somme parziali e si passa al limite della successione delle somme parziali ??che prende il nome di serie??
Se tale limite esiste ed è finito la serie converge.
Dopo l'esercizio chiede :
dato $a_k=b_(k+1) - b_k $ con $b_k=(k+1)/(2k+1) $
Calcolare la somma a partire da $k>=1$ utilizzando la definizione.
Il termine generale $a_k=-1/((2k+3)(2k+1) $
Ho fatto il limite per $kto infty=0 $
Quindi la somma vale zero?
Grazie.
Non mi è molto chiaro cosa devo fare..
Devo dare la definizione di:
$sum a_k $ da $k=1 $ ad $infty$
Allora io ho scritto che da una successione formata da infiniti termini dei quali si vuole calcolare la somma, si costruisce la successione delle somme parziali e si passa al limite della successione delle somme parziali ??che prende il nome di serie??
Se tale limite esiste ed è finito la serie converge.
Dopo l'esercizio chiede :
dato $a_k=b_(k+1) - b_k $ con $b_k=(k+1)/(2k+1) $
Calcolare la somma a partire da $k>=1$ utilizzando la definizione.
Il termine generale $a_k=-1/((2k+3)(2k+1) $
Ho fatto il limite per $kto infty=0 $
Quindi la somma vale zero?
Grazie.
Risposte
Ciao hi93,
No, non ci sei...
Mi occuperò della parte successiva a
Per la prima parte ti raccomando di fare riferimento al tuo libro di testo o ad altre fonti.
Se puoi scrivere
$a_k = b_{k + 1} - b_k $
Significa che la somma è telescopica, e si può trovare facilmente la somma della serie corrispondente, infatti si ha:
$\sum_{k = 1}^n a_k = \sum_{k = 1}^n (b_{k + 1} - b_k) = \sum_{k = 1}^n ((k+2)/(2k+3)- (k+1)/(2k+1)) = - n/(6n + 9) $
Perciò si ha:
$\lim_{n \to +infty} \sum_{k = 1}^n ((k+2)/(2k+3)- (k+1)/(2k+1)) = \sum_{k = 1}^{+\infty} ((k+2)/(2k+3)- (k+1)/(2k+1)) = \lim_{n \to +infty} (- n/(6n + 9)) = - 1/6 $
No, non ci sei...
Mi occuperò della parte successiva a
"hi93":
Dopo l'esercizio chiede :
Per la prima parte ti raccomando di fare riferimento al tuo libro di testo o ad altre fonti.
Se puoi scrivere
$a_k = b_{k + 1} - b_k $
Significa che la somma è telescopica, e si può trovare facilmente la somma della serie corrispondente, infatti si ha:
$\sum_{k = 1}^n a_k = \sum_{k = 1}^n (b_{k + 1} - b_k) = \sum_{k = 1}^n ((k+2)/(2k+3)- (k+1)/(2k+1)) = - n/(6n + 9) $
Perciò si ha:
$\lim_{n \to +infty} \sum_{k = 1}^n ((k+2)/(2k+3)- (k+1)/(2k+1)) = \sum_{k = 1}^{+\infty} ((k+2)/(2k+3)- (k+1)/(2k+1)) = \lim_{n \to +infty} (- n/(6n + 9)) = - 1/6 $
"pilloeffe":
Ciao hi93,
$\sum_{k = 1}^n a_k = \sum_{k = 1}^n (b_{k + 1} - b_k) = \sum_{k = 1}^n ((k+2)/(2k+3)- (k+1)/(2k+1)) = - n/(6n + 9) $
Grazie per la risposta. Non ho capito però come sei arrivato a scrivere
$" - n/(6n + 9) $
??
"hi93":
Grazie per la risposta. Non ho capito però come sei arrivato a scrivere [...]
Perché ti sfugge il concetto di somma telescopica...
Per illustrartelo meglio, ti scrivo esplicitamente alcuni termini della somma:
$ \sum_{k = 1}^n ((k+2)/(2k+3) - (k+1)/(2k+1)) = 3/5 - 2/3 + 4/7 - 3/5 + 5/9 - 4/7 + ... + (n+2)/(2n+3) = $
$ = -2/3 + (n+2)/(2n+3) = (- 4n - 6 + 3n + 6)/(3(2n + 3)) = - n/(6n + 9) $
Come avrai potuto notare i termini intermedi si elidono e alla fine "sopravvivono" solo $ - b_1 + b_{n + 1} $: è proprio questo il vantaggio delle somme telescopiche, grazie al quale la somma si trova subito...
"pilloeffe":
[quote="hi93"]Grazie per la risposta. Non ho capito però come sei arrivato a scrivere [...]
Perché ti sfugge il concetto di somma telescopica...
Per illustrartelo meglio, ti scrivo esplicitamente alcuni termini della somma:
$ \sum_{k = 1}^n ((k+2)/(2k+3) - (k+1)/(2k+1)) = 3/5 - 2/3 + 4/7 - 3/5 + 5/9 - 4/7 + ... + (n+2)/(2n+3) = $
$ = -2/3 + (n+2)/(2n+3) = (- 4n - 6 + 3n + 6)/(3(2n + 3)) = - n/(6n + 9) $
Come avrai potuto notare i termini intermedi si elidono e alla fine "sopravvivono" solo $ - b_1 + b_{n + 1} $: è proprio questo il vantaggio delle somme telescopiche, grazie al quale la somma si trova subito...
[/quote]Grazie sei stato gentilissimo. Ieri sera poi ho trovato degli appunti e da quelli ho visto che costruendo i vari termini , come hai detto tu, gli intermedi si elidono. Però calcolavo il valore vero e proprio del termine $s_1=-1/15$, $s_2=-2/21$ ecc ecc..
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