[RISOLTO] Esercizi di analisi complessa (metodi matematici della fisica)
Buonasera!
Sto preparando l'esame di metodi matematici e devo dire che lo sto trovando molto, molto ostico (specialmente per quanto riguarda la risoluzione degli esercizi). L'aiuto mi serve, in effetti, in uno degli esercizi svolti.
Verificare che: $int_{0}^{\infty} sin(x)/x dx = \pi/2$ utilizzando il cammino in figura e la funzione ${e^{iz}}/z$
Risoluzione dell'esercizio:
Abbiamo, sfruttando la parità dell'integrando:
1) Nel primo passaggio, non ho capito dove si sfrutta la parità dell'integrando. In esercizi precedenti veniva sfruttata per estendere l'integrale da $-\infty$ a $+\infty$ (ed era chiaro perché).
2) Sempre nel primo passaggio, non capisco perché considera la parte immaginaria dell'integrale. E' evidente che la parte immaginaria di $e^{ix}$ è $sin(x)$ ma il denominatore diventa zero se ne consideriamo $\Im(x)$, no?
3) Gli ultimi passaggi mi sfuggono completamente. Prima di tutto, dato che la singolarità si trova fuori dal cammino d'integrazione, quindi perché quando calcoliamo il residuo lo facciamo in quel punto? Perché sottraiamo il residuo di $f(z)$ all'integrale di $f(x)$? Ho cercato in lungo ed in largo nel libro di testo, ma non sono riuscita a trovare giustificazione. Se la giustificazione riguarda il lemma di Jordan, ammetto che, pur sapendolo enunciare, non l'ho capito a fondo.
Grazie per (l'eventuale) aiuto!
Sto preparando l'esame di metodi matematici e devo dire che lo sto trovando molto, molto ostico (specialmente per quanto riguarda la risoluzione degli esercizi). L'aiuto mi serve, in effetti, in uno degli esercizi svolti.
Verificare che: $int_{0}^{\infty} sin(x)/x dx = \pi/2$ utilizzando il cammino in figura e la funzione ${e^{iz}}/z$
Risoluzione dell'esercizio:
Abbiamo, sfruttando la parità dell'integrando:
$I=int_{0}^{\infty} sin(x)/x=lim_{{\epsilon \rightarrow 0}_{r \rightarrow \infty}} int_{\epsilon}^{r} sin(x)/x dx = 1/2 lim \Im int_ {\epsilon < |x| < r} e^{ix}/x$
La funzione $e^{iz}/z$ verifica il lemma di Jordan per $|z|\rightarrow \infty$ e presenta un polo semplice nell'origine, per cui considerando la curva $\Gamma_{\epsilon,r}$ in figura, non abbiamo singolarità interne al cammino d'integrazione e, nel limite $\epsilon \rightarrow 0$, $r\rightarrow \infty$$0=\oint_ {\Gamma} {e^{iz}}/z dz \rightarrow \lim_{{\epsilon \rightarrow 0, r \rightarrow \infty}} int_{\epsilon < |x|
$I=\pi/2$
$I=\pi/2$
1) Nel primo passaggio, non ho capito dove si sfrutta la parità dell'integrando. In esercizi precedenti veniva sfruttata per estendere l'integrale da $-\infty$ a $+\infty$ (ed era chiaro perché).
2) Sempre nel primo passaggio, non capisco perché considera la parte immaginaria dell'integrale. E' evidente che la parte immaginaria di $e^{ix}$ è $sin(x)$ ma il denominatore diventa zero se ne consideriamo $\Im(x)$, no?
3) Gli ultimi passaggi mi sfuggono completamente. Prima di tutto, dato che la singolarità si trova fuori dal cammino d'integrazione, quindi perché quando calcoliamo il residuo lo facciamo in quel punto? Perché sottraiamo il residuo di $f(z)$ all'integrale di $f(x)$? Ho cercato in lungo ed in largo nel libro di testo, ma non sono riuscita a trovare giustificazione. Se la giustificazione riguarda il lemma di Jordan, ammetto che, pur sapendolo enunciare, non l'ho capito a fondo.
Grazie per (l'eventuale) aiuto!
Risposte
1) Il tuo integrale $I$ si estende all'intervallo $(0, \infty)$ ma per applicare il metodo dei residui con quel disegno a "mezza ciambella" ti serve che l'integrale sia esteso a tutto $RR$.
1) Il tuo integrale $I$ si estende all'intervallo $(0, \infty)$ ma per applicare il metodo dei residui con quel disegno a "mezza ciambella" ti serve che l'integrale sia esteso a tutto $RR$.
2) Calcola bene la parte immaginaria di $e^{ix}/x$. Fai attenzione a non commettere erroracci. La parte immaginaria del rapporto non è mica il rapporto delle parti immaginarie
2) Calcola bene la parte immaginaria di $e^{ix}/x$. Fai attenzione a non commettere erroracci. La parte immaginaria del rapporto non è mica il rapporto delle parti immaginarie
2) Si giusto. Calcolandolo mi sono resa conto della sciocchezza che avevo fatto...
1) Vediamo se ho capito: nel primo passaggio, prendo il cammino d'integrazione e facendo tendere $r \rightarrow \infty$ e $\epsilon \rightarrow 0$ "schiaccio" la mezza ciambella così da estenderla su tutto $RR$. L'integrale di partenza va però da 0 a $+\infty$. Sfrutto la parità della funzione e quindi, l'integrale da $-\infty$ a 0 è uguale a quello da 0 a $+\infty$. Quindi, la mia domanda è: come mai nel passaggio successivo il prof. non considera già la metà dell'integrale, come fa nell'ultimo passaggio?
Grazie per l'aiuto!
1) Vediamo se ho capito: nel primo passaggio, prendo il cammino d'integrazione e facendo tendere $r \rightarrow \infty$ e $\epsilon \rightarrow 0$ "schiaccio" la mezza ciambella così da estenderla su tutto $RR$. L'integrale di partenza va però da 0 a $+\infty$. Sfrutto la parità della funzione e quindi, l'integrale da $-\infty$ a 0 è uguale a quello da 0 a $+\infty$. Quindi, la mia domanda è: come mai nel passaggio successivo il prof. non considera già la metà dell'integrale, come fa nell'ultimo passaggio?
Grazie per l'aiuto!
Si sarà sbagliato. Punta al cuore del problema, che è il punto 3. Il fatto che ti venga fuori "mezzo residuo" è effettivamente una parte dei lemmi di Jordan (che, ti confesso, non ho mai capito neanche io. Piuttosto che ricordarmi enunciati complicati preferisco fare "a mano". Ma tu ora devi fare l'esame, e quindi ti conviene ricordarteli). Intuitivamente non è strano: il polo in $0$ è circondato da mezza circonferenza, e quindi ti becchi solo mezzo residuo.
Si, intuitivamente ha senso considerare solo mezzo residuo. Però, mi dispiace ma continuo a non capire perché andiamo a calcolare il residuo in punto non interno al cammino d'integrazione.
Perché l'integrale curvilineo grande fa zero in tutto. Esso è costituito da quattro addendi, ciascuno corrispondente ad un pezzo del bordo della mezza ciambella: un pezzo dritto, il piccolo cerchio, l'altro pezzo dritto e infine il grande cerchio. In formule abbiamo che, per qualsiasi valore di $epsilon$ e di $R$,
$0= oint e^(iz)/z dz = int_I + int_(II) + int_(III) + int_(IV) e^(iz)/z dz. quad (1)$
Cosa succede quando $epsilon to 0$ e $R to \infty$? I due integrali sui pezzi dritti tendono proprio all'integrale che vuoi calcolare, mentre l'integrale sul cerchio grande tende a 0. Resta da calcolare l'integrale sul cerchio piccolo. Fatto questo, si possono ficcare tutte queste informazioini nella formula (1) e ricavare da li' il valore dell'integrale che vuoi calcolare.
$0= oint e^(iz)/z dz = int_I + int_(II) + int_(III) + int_(IV) e^(iz)/z dz. quad (1)$
Cosa succede quando $epsilon to 0$ e $R to \infty$? I due integrali sui pezzi dritti tendono proprio all'integrale che vuoi calcolare, mentre l'integrale sul cerchio grande tende a 0. Resta da calcolare l'integrale sul cerchio piccolo. Fatto questo, si possono ficcare tutte queste informazioini nella formula (1) e ricavare da li' il valore dell'integrale che vuoi calcolare.
Allora, vediamo se ho capito.
$\int_I$ e $int_{III}$ (cioè gli integrali sui pezzi dritti) possono essere sommati in quanto la funzione è pari. Dato che però l'integrale che vogliamo calcolare è solo da 0 a $+\infty$, allora consideriamo metà della somma. Detto più esplicitamente:
$1/2 [2 \int_{I+III} - 2\pi i Res f(z)]$ dove il secondo integrale è $\int_{IV}$. Ha senso dire che l'integrale IV vale quanto il residuo di f(z) in $z=0$ perché considerando il pezzo del cammino da solo, il residuo è interno. Per dire che è interno, inverto il senso d'integrazione cosicché il residuo è "a sinistra" (metodo usato dal professore per rendere interno un residuo all'infinito, ad esempio) ed in questo modo mi spiego il meno davanti al residuo.
$\int_I$ e $int_{III}$ (cioè gli integrali sui pezzi dritti) possono essere sommati in quanto la funzione è pari. Dato che però l'integrale che vogliamo calcolare è solo da 0 a $+\infty$, allora consideriamo metà della somma. Detto più esplicitamente:
$1/2 [2 \int_{I+III} - 2\pi i Res f(z)]$ dove il secondo integrale è $\int_{IV}$. Ha senso dire che l'integrale IV vale quanto il residuo di f(z) in $z=0$ perché considerando il pezzo del cammino da solo, il residuo è interno. Per dire che è interno, inverto il senso d'integrazione cosicché il residuo è "a sinistra" (metodo usato dal professore per rendere interno un residuo all'infinito, ad esempio) ed in questo modo mi spiego il meno davanti al residuo.
Tutto corretto
Sono estremamente felice della cosa! Grazie mille per l'aiuto!
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