[RISOLTO] Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee

[liberatorimatteo]

Sto cercando di comprendere bene la dimostrazione di questo famoso
Teorema Sia $ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0$ ove $a,b,c\inRR:a\ne0$ un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti e sia $P(z)=az^2+bz+c$ il polinomio caratteristico naturalmente associato ad essa. Le soluzioni di tale equazione costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione 2 e le soluzioni si scrivono come $y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ ove $y_1(x), y_2(x)$ dipendono dalle soluzioni $\lambda_1,\lambda_2$ di $P(z)=0$. In particolare sia $\Delta=b^2-4ac$, si ha:

$y_1(x)=e^(\lambda_1x), y_2(x)=e^(\lambda_2x)$ se $\Delta>0$
$y_1(x)=e^(\lambdax), y_2(x)=xe^(\lambdax)$ se $\Delta=0 \Leftrightarrow \lambda_(1,2)=\lambda$
$y_1(x)=e^(\alphax)cos(\betax), y_2(x)=e^(\alphax)sin(\betax)$ se $\Delta<0 \Leftrightarrow \lambda_(1,2)=\alpha+-i\beta$[/list:u:3mne0p6b]
DIMOSTRAZIONE
Che $y_1(x), y_2(x)$ siano soluzioni nei vari casi è facile verificarlo sostituendo nell'equazione generale e OK...
Per mostrare che $y_1(x), y_2(x)$ sono linearmente indipendenti osservo che


$\{(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)=0),(c_1y_1'(x)+c_2y_2'(x)=0):} \Leftrightarrow ((y_1,y_2),(y_1',y_2'))((c_1),(c_2))=((0),(0))$

Si dimostra( non lo faccio perché mi è chiaro come fare) che in ogni caso


$det((y_1,y_2),(y_1',y_2'))\ne0$

e quindi $c_1=c_2=0$ (perché? penso di aver problemi con l'algebra lineare...) e perciò $y_1(x), y_2(x)$ sono linearmente indipendenti. Tra gli appunti ho scritto che $EE!c_1,c_2: y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ (perché? e a cosa mi serve nella dimostrazione?)

Infine devo mostrare che ogni soluzione si scrive come $y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$. Sia $y(x)$ una soluzione di $ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0$ e sia


$u(x)=y(x)-c_1y_1(x)-c_2y_2(x)$

Chiaramente $u(x)$ è soluzione di $ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0$ perché combinazione lineare di sue soluzioni inoltre $u(0)=u'(0)=0$. Osservo che, poiché $\lambda_1,\lambda_2$ sono soluzioni di $P(z)=0$, si ha


$P(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)=z^2-(\lambda_1+\lambda_2)z+\lambda_1\lambda_2$

e perciò


$au''(x)+bu'(x)+cu(x)=0 <=> u''(x)-(\lambda_1+\lambda_2)u'(x)+\lambda_1\lambda_2=0 <=>$
$(u'(x)-\lambda_1u(x))'-\lambda_2(u'(x)-\lambda_1u(x))=0$

Sia $v(x)=u'(x)-\lambda_1u(x)$ allora la relazione precedente diventa $v'(x)-\lambda_2v(x)=0$. Inoltre poiché $u(0)=u'(0)=0$ anche $v(0)=0$ abbiamo quindi il seguente problema di Cauchy:


$\{(v'(x)-\lambda_2v(x)=0),(v(0)=0):} <=> \{(d/(dx)(e^(-\lambda_2x)v)=0),(v(0)=0):} <=> \{(v=ce^(\lambda_2x)),(v(0)=0):} <=> v(x)=0 \forallx\inRR$

Quindi ora abbiamo


$\{(v=u'-\lambda_1u),(v(x)=0),(u(0)=u'(0)=0):} <=> \{(u'-\lambda_1u=0),(u(0)=u'(0)=0):}$

Come prima si ottiene che $u(x)=0 \forallx\inRR$ e quindi $y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x) \forallx\inRR$

A perte quelle due cose mi pare che fili tutto. Grazie per la pazienza!

[Luca.Lussardi]

"Freebulls":

$det((y_1,y_2),(y_1',y_2'))\ne0$

e quindi $c_1=c_2=0$ (perché? penso di aver problemi con l'algebra lineare...)

Esatto, e' un fatto di algebra lineare: il sistema e' omogeneo, quindi $c_1=c_2=0$ e' soluzione, essendo il determinante non nullo la soluzione e' unica.

"Freebulls":ra gli appunti ho scritto che $EE!c_1,c_2: y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ (perché? e a cosa mi serve nella dimostrazione?)

E' sempre algebra lineare: ogni $y$ e' combinazione lineare di una base e i coefficienti della combinazione sono unici.

[liberatorimatteo]

"Luca.Lussardi":[quote="Freebulls"]

$det((y_1,y_2),(y_1',y_2'))\ne0$

e quindi $c_1=c_2=0$ (perché? penso di aver problemi con l'algebra lineare...)

Esatto, e' un fatto di algebra lineare: il sistema e' omogeneo, quindi $c_1=c_2=0$ e' soluzione, essendo il determinante non nullo la soluzione e' unica.

"Freebulls":ra gli appunti ho scritto che $EE!c_1,c_2: y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ (perché? e a cosa mi serve nella dimostrazione?)

E' sempre algebra lineare: ogni $y$ e' combinazione lineare di una base e i coefficienti della combinazione sono unici.[/quote]
Mamma mia mi stavo perdendo in un bicchiere d'acqua. Sono le basi proprio... Grazie!