[risolto] equazione differenziale var separabili

[jitter1]

Mi aiutereste con questo problema di Cauchy? E' importante perché è della stessa forma di quello sulla caduta in un mezzo con resistenza quadratica, su cui ho alcuni dubbi e non so se mi sono data una spiegazione corretta.
Metto in bold le affermazioni su cui avrei bisogno di una conferma.
Grazie eh!

$ { ( y'=1-y^2 ),( y(0)=0 ):} $

Ragiono così.

Gli equilibri sono $y = 1$ e $y = -1$, ma non sono soluzioni perché la condizione iniziale è y(0)=0. La soluzione $\Phi(t)$ che troverò quindi passerà per $(0, y(0)=0)$ e non potrà "attraversare" le rette $y = 1$ e $y = -1$, perché $\Phi(t)$ deve essere continua. Ciò significa che la soluzione sarà collocata nella zona del piano compresa tra le due rette $y = 1$ e $y = -1$: equivalentemente posso scrivere $|y|<1$ (questo mi servirà dopo per sciogliere i moduli che verranno fuori nel logaritmo).

Ora cerco la soluzione per $y!=+-1$:

$ (y')/(1-y^2) = 1 $

$ int_(0)^(t) (y')/(1-y^2)dt = int_(0)^(t)dt $

Pongo $u = y$, quindi $y'= du/(dt)$ e scrivo $y'dt$ come $du$:

$ int_(0)^(y) (du)/(1-u^2) = t $

$ 1/(1-u^2) = 1/2(1/(1+u)+1/(1-u)) $

$ int_0^y1/2(1/(1+u)+1/(1-u))du= t $

$ int_0^y1/2(1/(1+u))du+int_0^y1/2(1/(1-u))du= t $

$ lg|1+u|+lg|1-u|= 2t $

Siccome $|y|<1$, ho $ lg(1+u)+lg(1-u)= 2t $.... ma deve venire invece $log((1+u)/(1-u))=2t$
Dove l'errore?

[ostrogoto1]

La soluzione di
$ int_0^y1/2(1/(1+u))du+int_0^y1/2(1/(1-u))du= t $
e'
$ lg|1+u|-lg|1-u|= 2t $

[Gi81]

L'errore è nell'ultimo integrale: $int (dx)/(1-x)$ non fa $log|1-x|+c$. Fa $-log|1-x|+c$

[jitter1]

"Gi8":L'errore è nell'ultimo integrale: $int (dx)/(1-x)$ non fa $log|1-x|+c$. Fa $-log|1-x|+c$

E' veroooo! Mi avete salvata!