[RISOLTO] A proposito del teorema di Abel per serie di potenze
Come da titolo: lavoro con la serie geometrica \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = 1/(1-x)\) -in \((-1,1)\).
Se provo ad integrare -separatamente- le due espressioni ottengo
\begin{align*}
\int_{0}^x \sum_{n=0}^{+\infty} x^n & = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}; \tag{1} \\ \\ \\
\log \left( \frac{1}{1-x} \right) & = \int_{0}^x \frac{1}{1-t} dt \tag{2}
\end{align*}
Ora, il mio professore dice: \(\sum_1^{+\infty} {x^n} / n\) converge in \((-1,1]\) (d'accordo, NdR). Uso il teorema di Abel per le serie di potenze e trovo che
\begin{equation*} \label{eqn:srotolata}
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots{} = \log{2} \tag{3}
\end{equation*}
Question: che cacchio c'entra Abel?... Una volta scritto che
\begin{equation*}
\log \left( \frac{1}{1 -x} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n},
\end{equation*}
e capito che per Leibniz la serie integrale converge puntualmente in \(-1\), valuto in \(x = -1\) e mi ritrovo con \eqref{eqn:srotolata}.
Al piu', usando Abel, il (?) risultato sarebbe: la serie geometrica -con ragione piccola- converge in maniera uniforme su qualsiasi compatto del tipo \([-1,1-\varepsilon]\). Ma in che modo dovrei usarlo, e perche' mi sembra? Hints?
Ringrazio!
Se provo ad integrare -separatamente- le due espressioni ottengo
\begin{align*}
\int_{0}^x \sum_{n=0}^{+\infty} x^n & = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}; \tag{1} \\ \\ \\
\log \left( \frac{1}{1-x} \right) & = \int_{0}^x \frac{1}{1-t} dt \tag{2}
\end{align*}
Ora, il mio professore dice: \(\sum_1^{+\infty} {x^n} / n\) converge in \((-1,1]\) (d'accordo, NdR). Uso il teorema di Abel per le serie di potenze e trovo che
\begin{equation*} \label{eqn:srotolata}
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots{} = \log{2} \tag{3}
\end{equation*}
Question: che cacchio c'entra Abel?... Una volta scritto che
\begin{equation*}
\log \left( \frac{1}{1 -x} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n},
\end{equation*}
e capito che per Leibniz la serie integrale converge puntualmente in \(-1\), valuto in \(x = -1\) e mi ritrovo con \eqref{eqn:srotolata}.
Al piu', usando Abel, il (?) risultato sarebbe: la serie geometrica -con ragione piccola- converge in maniera uniforme su qualsiasi compatto del tipo \([-1,1-\varepsilon]\). Ma in che modo dovrei usarlo, e perche' mi sembra? Hints?
Ringrazio!
Risposte
In generale, sai che la sola convergenza puntuale non basta a garantire che sia lecito invertire l'ordine dei limiti:
\[
\lim_{x\to c} \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \lim_{x\to c} a_n (x-x_0)^n\; ;
\]
per fare questo passaggio serve, ad esempio, la convergenza uniforme. Quindi non è vero che la tua (3) si ricava così facilmente.
Dalla teoria sai che se la s.d.p. \(\sum a_n(x-x_0)^n\) ha r.d.c. \(\rho>0\), allora la convergenza della serie è totale (e quindi assoluta ed uniforme) ben dentro l'intervallo di convergenza, cioé su ogni compatto \(K\subset ]x_0-\rho ,x_0+\rho[\) (questo c'è proprio scritto nella dimostrazione che fai, ma un po' tra le righe).
In generale, però, non puoi spingerti negli estremi dell'intervallo di convergenza e sperare di conservare la convergenza totale.
Ad esempio la serie:
\[
\sum \frac{x^n}{n}
\]
converge puntualmente in \([-1,1[\) (non \(]-1,1]\) come hai segnato) e lo fa totalmente in ogni compatto \(K\subset ]-1,1[\); tuttavia la convergenza non è totale su ogni compatto contenuto in \([-1,1[\), poiché invero per \(K^\prime =[-1,0]\subseteq [-1,1[\) si ha:
\[
M_n := \sup_{K^\prime} \frac{1}{n}|x|^n =\frac{1}{n}
\]
e la serie \(\sum M_n\) diverge.
Si pone quindi il problema di stabilire che cosa succede (a livello di "modo di convergenza") quando una s.d.p. converge negli estremi... Per quanto visto sopra, in generale, la convergenza totale la perdi quando ti spingi negli estremi dell'intervallo di convergenza; però ti puoi ancora chiedere se riesci a mantenere la convergenza uniforme, essendo quest'ultima più debole della convergenza totale.
Il teorema di Abel ti dice proprio questo, cioé che pur perdendo la convergenza totale, riesci a conservare la convergenza uniforme quando ti spingi negli estremi:
Ora, nell'ipotesi di convergenza in un estremo dell'intervallo di convergenza, diciamo in \(x_0+\rho\), puoi applicare il teorema sull'inversione dei limiti per la convergenza uniforme (restringendo le tue considerazioni ad un opportuno intorno sinistro compatto del tipo \([a, x_0+\rho]\subseteq ]x_0-\rho ,x_0+\rho]\)) e dire che per convergenza uniforme hai:
\[
\lim_{x\to (x_0+\rho)^-} \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \lim_{x\to (x_0+\rho)^-} a_n(x-x_0)^n = \sum_{n=0}^\infty a_n\ \rho^n
\]
cioé:
\[
\lim_{x\to (x_0+\rho)^-} f(x) = f(x_0+\rho)
\]
ove \(f\) è la somma di \(\sum a_n(x-x_0)^n\).
Perciò la somma della tua serie risulta continua in \(x_0+\rho\) proprio per il teorema di Abel, poiché esso, a conti fatti, ti consente di usare la convergenza uniforme per scambiare limite e sommatoria.
\[
\lim_{x\to c} \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \lim_{x\to c} a_n (x-x_0)^n\; ;
\]
per fare questo passaggio serve, ad esempio, la convergenza uniforme. Quindi non è vero che la tua (3) si ricava così facilmente.
Dalla teoria sai che se la s.d.p. \(\sum a_n(x-x_0)^n\) ha r.d.c. \(\rho>0\), allora la convergenza della serie è totale (e quindi assoluta ed uniforme) ben dentro l'intervallo di convergenza, cioé su ogni compatto \(K\subset ]x_0-\rho ,x_0+\rho[\) (questo c'è proprio scritto nella dimostrazione che fai, ma un po' tra le righe).
In generale, però, non puoi spingerti negli estremi dell'intervallo di convergenza e sperare di conservare la convergenza totale.
Ad esempio la serie:
\[
\sum \frac{x^n}{n}
\]
converge puntualmente in \([-1,1[\) (non \(]-1,1]\) come hai segnato) e lo fa totalmente in ogni compatto \(K\subset ]-1,1[\); tuttavia la convergenza non è totale su ogni compatto contenuto in \([-1,1[\), poiché invero per \(K^\prime =[-1,0]\subseteq [-1,1[\) si ha:
\[
M_n := \sup_{K^\prime} \frac{1}{n}|x|^n =\frac{1}{n}
\]
e la serie \(\sum M_n\) diverge.
Si pone quindi il problema di stabilire che cosa succede (a livello di "modo di convergenza") quando una s.d.p. converge negli estremi... Per quanto visto sopra, in generale, la convergenza totale la perdi quando ti spingi negli estremi dell'intervallo di convergenza; però ti puoi ancora chiedere se riesci a mantenere la convergenza uniforme, essendo quest'ultima più debole della convergenza totale.
Il teorema di Abel ti dice proprio questo, cioé che pur perdendo la convergenza totale, riesci a conservare la convergenza uniforme quando ti spingi negli estremi:
Sia \(\sum a_n (x-x_0)^n\) una s.d.p. con r.d.c. \(0<\rho <\infty\).
Se la serie converge in \(x_0+\rho\) [risp. in \(x_0-\rho\)], allora essa converge uniformemente su ogni compatto \(K\) contenuto in \(]x_0-\rho, x_0+\rho]\) [risp. in \([x_0-\rho, x_0+\rho[\)].
In particolare, se la serie converge in entrambi gli estremi del proprio intervallo di convergenza, la convergenza è uniforme in tutto l'intervallo in \([x_0-\rho, x_0+\rho]\).
Ora, nell'ipotesi di convergenza in un estremo dell'intervallo di convergenza, diciamo in \(x_0+\rho\), puoi applicare il teorema sull'inversione dei limiti per la convergenza uniforme (restringendo le tue considerazioni ad un opportuno intorno sinistro compatto del tipo \([a, x_0+\rho]\subseteq ]x_0-\rho ,x_0+\rho]\)) e dire che per convergenza uniforme hai:
\[
\lim_{x\to (x_0+\rho)^-} \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \lim_{x\to (x_0+\rho)^-} a_n(x-x_0)^n = \sum_{n=0}^\infty a_n\ \rho^n
\]
cioé:
\[
\lim_{x\to (x_0+\rho)^-} f(x) = f(x_0+\rho)
\]
ove \(f\) è la somma di \(\sum a_n(x-x_0)^n\).
Perciò la somma della tua serie risulta continua in \(x_0+\rho\) proprio per il teorema di Abel, poiché esso, a conti fatti, ti consente di usare la convergenza uniforme per scambiare limite e sommatoria.
@gugo: Veramente molto interesante. Non avevo capito un tubo di quel teorema!
Quindi, se adesso ci vedo piu' chiaro: ho fra le mani \(\sum x^n\). Gia' la s.d.p iniziale converge assolutamente in \((-1,1)\), quindi integrandola mantengo a maggior ragione la convergenza. Se \(|x| < 1\), posso esprimere la somma della serie come \(1/(1-x)\).
In tutto l'aperto \((-1,1)\) ho convergenza totale -dunque uniforme. La continuita' di tutti gli addendi della s.d.p. e quindi di tutte le somme parziali viene ereditata da \(S\). Il teorema di Abel -e la convergenza della serie \(\sum {x^n}/n\) in \(x_0 = -1\)- mi permettono di concludere che \(S\) e' continua anche spingendomi fino al bordo sinistro. Da qui:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} := S(-1) \stackrel{\text{Abel}}{=} \lim_{x \to -1} S(x) = \log{2}
\]
cioe'
\[
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots{} = \log{2}
\]
Quindi, se adesso ci vedo piu' chiaro: ho fra le mani \(\sum x^n\). Gia' la s.d.p iniziale converge assolutamente in \((-1,1)\), quindi integrandola mantengo a maggior ragione la convergenza. Se \(|x| < 1\), posso esprimere la somma della serie come \(1/(1-x)\).
In tutto l'aperto \((-1,1)\) ho convergenza totale -dunque uniforme. La continuita' di tutti gli addendi della s.d.p. e quindi di tutte le somme parziali viene ereditata da \(S\). Il teorema di Abel -e la convergenza della serie \(\sum {x^n}/n\) in \(x_0 = -1\)- mi permettono di concludere che \(S\) e' continua anche spingendomi fino al bordo sinistro. Da qui:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} := S(-1) \stackrel{\text{Abel}}{=} \lim_{x \to -1} S(x) = \log{2}
\]
cioe'
\[
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots{} = \log{2}
\]
Esatto.
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