Riordinare le idee sugli integrali impropri (esercizio)
Buon pomeriggio. Sto svolgendo diversi esercizi sugli integrali improprio che per me sono tra le bestie più nere. 
Sono arrivata ad avere alcuni dubbi riguardo questo esercizio
$\int_0^(+∞) log(1+sin^2(3x))/(2x(1+sqrtx)) dx$
Ho diviso l'intervallo di integrazione prima da 0 a 1e poi da 1 a infinito trovandomi di fronte a un integrale misto (improprio di prima e secodan specie)
INTERVALLO $(0,1]$
Essendo l'integranda positiva per questo intervallo posso utilizzare il criterio del confronto asintotico,
a numeratore abbiamo per x->0
La prima equivalenza asintotica che discende dal logaritmo che mi lascia: $sin^2(2x)$ che a sua volta applicando l'equivalenza asintotica del seno $3x$.
a denominatore abbiamo l'equivalenza valida per x->0 $2x(1+sqrtx)=2x$
In sostanza si ha $9/2 \int_0^1 1/x^(-1)$ cioè converge.
Qui mi sorge un primo dubbio però, in realtà svolgendo il limite $lim_(x->0) log(1+sin^2(3x))/(2x(1+sqrtx))=0$ e non va a infinito, quindi esiste almeno un intorno in cui è limitata e localmente integrabile.
Quindi forse tutto lo studio che ho fatto sarebbe superfluo
INTERVALLO $(1,+∞]$
Notavo che al numeratore $1<=sin^2(3x)<=2$ quindi $log(1+sin^2(3x))/(2x(1+sqrtx))<=2/(2x(1+sqrtx))$ notando che il denominatore è sempre positivo (qui utilizzero il criterio del confronto).
A questo punto posso utilizzare la stima asintotica per x->+inf $2/(2x(1+sqrtx))=2/(2x+2x^(3/2))->1/x^(3/2)$
Da cui l'integrale improprio convergente: $\int_1^(+∞) 1/x^(3/2)$
Scusate lo scritto prolisso..
Sono arrivata ad avere alcuni dubbi riguardo questo esercizio
$\int_0^(+∞) log(1+sin^2(3x))/(2x(1+sqrtx)) dx$
Ho diviso l'intervallo di integrazione prima da 0 a 1e poi da 1 a infinito trovandomi di fronte a un integrale misto (improprio di prima e secodan specie)
INTERVALLO $(0,1]$
Essendo l'integranda positiva per questo intervallo posso utilizzare il criterio del confronto asintotico,
a numeratore abbiamo per x->0
La prima equivalenza asintotica che discende dal logaritmo che mi lascia: $sin^2(2x)$ che a sua volta applicando l'equivalenza asintotica del seno $3x$.
a denominatore abbiamo l'equivalenza valida per x->0 $2x(1+sqrtx)=2x$
In sostanza si ha $9/2 \int_0^1 1/x^(-1)$ cioè converge.
Qui mi sorge un primo dubbio però, in realtà svolgendo il limite $lim_(x->0) log(1+sin^2(3x))/(2x(1+sqrtx))=0$ e non va a infinito, quindi esiste almeno un intorno in cui è limitata e localmente integrabile.
Quindi forse tutto lo studio che ho fatto sarebbe superfluo
INTERVALLO $(1,+∞]$
Notavo che al numeratore $1<=sin^2(3x)<=2$ quindi $log(1+sin^2(3x))/(2x(1+sqrtx))<=2/(2x(1+sqrtx))$ notando che il denominatore è sempre positivo (qui utilizzero il criterio del confronto).
A questo punto posso utilizzare la stima asintotica per x->+inf $2/(2x(1+sqrtx))=2/(2x+2x^(3/2))->1/x^(3/2)$
Da cui l'integrale improprio convergente: $\int_1^(+∞) 1/x^(3/2)$
Scusate lo scritto prolisso..
Risposte
Più o meno ci sei. In \( [0,1]\) l'integranda è continua (come hai fatto notare tu alla fine), quindi non ci sono problemi.
In \( [1,+\infty)\) ha scritto un'inesattezza, infatti vale semmai \( 0 \le \sin (3x)^2 \le 1\) donde \( 0 \le \log(1 + \sin (3x)^2) \le \log(2)\), e poi continui con la stima asintotica che hai fatto tu.
In \( [1,+\infty)\) ha scritto un'inesattezza, infatti vale semmai \( 0 \le \sin (3x)^2 \le 1\) donde \( 0 \le \log(1 + \sin (3x)^2) \le \log(2)\), e poi continui con la stima asintotica che hai fatto tu.
Grazie per la risposta.
Sulla prima questione:
Ho un po' di confusione riguardo la teoria che sottostà a quanto ho scritto, in realtà l'ho appreso facendo un esercizio.
Il problema è che non è veramente continua, piuttosto è prolungabile per continuità (non mi sembrano affatto la stessa cosa, dovrei creare una funzione ad hoc continua?).
Oltre al fatto teorico che non comprendo appieno cosa dovrei fare all'atto pratico in un esercizio? Scrivo solo che è integrabile o mostro la convergenza come fatto.
Insomma urge chiarezza nelle mie idee
****
Per il secondo errore no words, sono capace di giocarmi punti così per distrazioni demenziali.
Grazie per avermelo fatto notare.
Grazie per tutto.
Sulla prima questione:
Ho un po' di confusione riguardo la teoria che sottostà a quanto ho scritto, in realtà l'ho appreso facendo un esercizio.
Il problema è che non è veramente continua, piuttosto è prolungabile per continuità (non mi sembrano affatto la stessa cosa, dovrei creare una funzione ad hoc continua?).
Oltre al fatto teorico che non comprendo appieno cosa dovrei fare all'atto pratico in un esercizio? Scrivo solo che è integrabile o mostro la convergenza come fatto.
Insomma urge chiarezza nelle mie idee
****
Per il secondo errore no words, sono capace di giocarmi punti così per distrazioni demenziali.
Grazie per avermelo fatto notare.
Grazie per tutto.
"saretta:)":
[...] Ho un po' di confusione riguardo la teoria che sottostà a quanto ho scritto, in realtà l'ho appreso facendo un esercizio. Il problema è che non è veramente continua, piuttosto è prolungabile per continuità (non mi sembrano affatto la stessa cosa, dovrei creare una funzione ad hoc continua?). [...]
Ai fini dell'integrazione non cambia nulla, se \(f(x)\) è la tua integranda e \( \tilde{f} (x)\) è la sua (unica) estensione continua in \(0\), hai che \[ \int_{[0,1]} \tilde{f}(t) \, dt = \int_{(0,1]} f(t) \, dt = \int_{(0,1)} f(t) \, dt \]perché un punto ha misura di Lebesgue nulla. Per l'integrale di Riemann vale qualcosa di simile - nota che per fare l'integrale di Riemann ti servono i compatti e quindi, per come la vedo, per dare senso alla scrittura \( \int_{ (0,1]} \) devi prima dare senso alla scrittura \( \int_{[0,1]} \) (e per quest'ultima ti serve una funzione che sia definita su tutto \( [0,1] \)).
All'atto pratico hai scritto due cose sostanzialmente equivalenti che molto probabilmente ti sarebbero conteggiate come corrette in un esame, anche se personalmente avrei proceduto così: calcolo il limite in \(0\); la funzione si estende con continuità a tutto \( [0,1]\); il suo integrale di Riemann ha pertanto senso ed è finito; siccome \( \int_{ \{0\} } \tilde{f} (t) \, dt = 0\), \( \int_{(0,1]} \tilde{f} (t) \, dt = \int_{(0,1]} f (t) \, dt \), che è finito. Ma è una questione di sottigliezze lanacaprinose.
"Delirium":
nota che per fare l'integrale di Riemann ti servono i compatti e quindi, per come la vedo, per dare senso alla scrittura \( \int_{ (0,1]} \) devi prima dare senso alla scrittura \( \int_{[0,1]} \) (e per quest'ultima ti serve una funzione che sia definita su tutto \( [0,1] \))
Su questa ci sono.
Ti ringrazio per la risposta, ora ho capito come formalizzare l'idea.
PS:
"Delirium":
perché un punto ha misura di Lebesgue nulla.
Su questa meno, oltre ad avere un'idea molto poco formale (per cose lette per pura curiosità) non abbiamo mai trattato ad analisi tale tipo di misura. Forse dovrò colmare la mia lacuna a riguardo.
Buona giornata
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