Rigging di spazi di Hilbert
Sia [tex]$\left(\mathfrak{H}, (\cdot, \cdot) \right)[/tex] uno spazio di Hilbert. Se [tex]\mathfrak{H}_{+}[/tex] è uno spazio di Banach che si immerge con continuità in [tex]\mathfrak{H}[/tex], possiamo scrivere [tex]\mathfrak{H}_+ \subset \mathfrak{H}[/tex]: si intende che i due spazi hanno topologie diverse, ma l'inclusione è applicazione continua.
Definiamo [tex]\mathfrak{H}_-[/tex] come l'insieme delle forme coniugato-lineari su [tex]\mathfrak{H}_+[/tex]. In particolare ogni [tex]\mathfrak{H}[/tex] si considera elemento di [tex]\mathfrak{H}_-[/tex] perché si pone
[tex]$h(h_{+})=(h, h_{+})[/tex] per definizione.
Questo giustifica la scrittura [tex](h_{-}, h_{+})[/tex] in luogo di [tex]h_{-}(h_+)[/tex]. Introduciamo su [tex]\mathfrak{H}_-[/tex] una norma nella maniera naturale:
[tex]$ \lVert h_{-} \rVert _-=\sup_{h_+ \in \mathfrak{H}_+} \frac{\lvert (h_{-}, h_{+}) \rvert}{\lVert h_{+} \rVert _{+}}[/tex]
allora evidentemente l'inclusione di [tex]\mathfrak{H}[/tex] in [tex]\mathfrak{H}_-[/tex] è continua, cosicché possiamo finalmente scrivere
[tex]$ \mathfrak{H}_+ \subset \mathfrak{H} \subset \mathfrak{H}_-[/tex]
Ora la domanda è: [tex]\mathfrak{H}[/tex] è denso in [tex]\mathfrak{H}_-[/tex]?
Intuitivamente io direi di si, ma mi imbrano un po' con queste inclusioni. E poi ho un sospetto: che sia necessario supporre [tex]\mathfrak{H}_{+}[/tex] riflessivo, cosa tra l'altro sempre verificata nelle applicazioni in cui [tex]\mathfrak{H}_{+}[/tex] è pure lui uno spazio di Hilbert (con un prodotto scalare diverso da quello di [tex]\mathfrak{H}[/tex], naturalmente).
Definiamo [tex]\mathfrak{H}_-[/tex] come l'insieme delle forme coniugato-lineari su [tex]\mathfrak{H}_+[/tex]. In particolare ogni [tex]\mathfrak{H}[/tex] si considera elemento di [tex]\mathfrak{H}_-[/tex] perché si pone
[tex]$h(h_{+})=(h, h_{+})[/tex] per definizione.
Questo giustifica la scrittura [tex](h_{-}, h_{+})[/tex] in luogo di [tex]h_{-}(h_+)[/tex]. Introduciamo su [tex]\mathfrak{H}_-[/tex] una norma nella maniera naturale:
[tex]$ \lVert h_{-} \rVert _-=\sup_{h_+ \in \mathfrak{H}_+} \frac{\lvert (h_{-}, h_{+}) \rvert}{\lVert h_{+} \rVert _{+}}[/tex]
allora evidentemente l'inclusione di [tex]\mathfrak{H}[/tex] in [tex]\mathfrak{H}_-[/tex] è continua, cosicché possiamo finalmente scrivere
[tex]$ \mathfrak{H}_+ \subset \mathfrak{H} \subset \mathfrak{H}_-[/tex]
Ora la domanda è: [tex]\mathfrak{H}[/tex] è denso in [tex]\mathfrak{H}_-[/tex]?
Intuitivamente io direi di si, ma mi imbrano un po' con queste inclusioni. E poi ho un sospetto: che sia necessario supporre [tex]\mathfrak{H}_{+}[/tex] riflessivo, cosa tra l'altro sempre verificata nelle applicazioni in cui [tex]\mathfrak{H}_{+}[/tex] è pure lui uno spazio di Hilbert (con un prodotto scalare diverso da quello di [tex]\mathfrak{H}[/tex], naturalmente).
Risposte
Ok, trovato. Se ne parla sul Brezis, quinto capitolo, secondo paragrafo (pag.132). [EDIT] Errato, vedi sotto...
Non occorre alcuna ipotesi su [tex]\mathfrak{H}_{+}[/tex], l'inclusione di [tex]\mathfrak{H}[/tex] in [tex]\mathfrak{H}_{-}[/tex] è sempre densa.
... Uuh scusate, stavo pensando una cosa e ne ho scritta un'altra. Se si richiede che [tex]\mathfrak{H}_{+}[/tex] sia riflessivo, allora l'inclusione di [tex]\mathfrak{H}[/tex] in [tex]\mathfrak{H}_{-}[/tex] è densa. Immagino sia conseguenza dei teoremi di ortogonalità, Brezis fa riferimento al fantomatico [EX] che però non mi pare arrivi al quinto capitolo. Non ho mai capito la vera storia di quel libro.
Non occorre alcuna ipotesi su [tex]\mathfrak{H}_{+}[/tex], l'inclusione di [tex]\mathfrak{H}[/tex] in [tex]\mathfrak{H}_{-}[/tex] è sempre densa.
... Uuh scusate, stavo pensando una cosa e ne ho scritta un'altra. Se si richiede che [tex]\mathfrak{H}_{+}[/tex] sia riflessivo, allora l'inclusione di [tex]\mathfrak{H}[/tex] in [tex]\mathfrak{H}_{-}[/tex] è densa. Immagino sia conseguenza dei teoremi di ortogonalità, Brezis fa riferimento al fantomatico [EX] che però non mi pare arrivi al quinto capitolo. Non ho mai capito la vera storia di quel libro.
Mi definisci "forme coniugato-lineari"?
Sono per caso quei funzionali lineari t.c. [tex]$f(\alpha\ h)=\overline{\alpha}\ f(h)$[/tex]?
Mancanza mia... Mai lavorato seriamente in spazi di Hilbert complessi.
Sono per caso quei funzionali lineari t.c. [tex]$f(\alpha\ h)=\overline{\alpha}\ f(h)$[/tex]?
Mancanza mia... Mai lavorato seriamente in spazi di Hilbert complessi.
Si, esatto Gugo. Praticamente quello spazio [tex]\mathfrak{H}_-[/tex] è il duale di [tex]\mathfrak{H}[/tex], solo che prendi forme coniugato-lineari anziché lineari perché così ti ritrovi con il prodotto scalare di [tex]\mathfrak{H}[/tex].
Questa qua essenzialmente è la costruzione che dice Brezis quando, nel capitolo sugli spazi di Hilbert, pone la domanda:
"[tex]H[/tex] e [tex]H'[/tex]: identificarli o non identificarli?"
sicuramente l'avrai almeno vista. Brezis dice che, se uno spazio di Banach riflessivo [tex]V[/tex] si immerge con continuità in uno spazio di Hilbert [tex]H[/tex], allora in modo naturale si definisce anche una immersione continua e densa di [tex]H[/tex] in [tex]V'[/tex]:
[tex]$V \subset H \subset V'[/tex]
e identificando [tex]H[/tex] con [tex]H'[/tex], si ha che il prodotto della dualità di [tex]V[/tex] coincide con il prodotto scalare di [tex]H[/tex] quando i fattori sono in [tex]H[/tex] stesso:
[tex]$ \langle v', v \rangle_{V', V}=(v', v)_{H}[/tex] se [tex]v', v\in H[/tex]
questo in pratica ti permette di estendere il prodotto scalare
[tex]$(h_1, h_2), \quad h_1, h_2 \in H[/tex]
indebolendo le richieste su un fattore (ovvero prendendolo nella più ampia classe [tex]V'[/tex]) e rinforzandole sull'altro (prendendolo nella ristretta classe [tex]V[/tex]):
[tex]$\langle v', v \rangle, \quad v' \in V', v \in V[/tex]
Tutto questo serve per trattare rigorosamente argomenti come questo che dice Arrigo Amadori, ovvero "estendere" uno spazio di Hilbert in modo da trovare autovettori generalizzati per gli operatori autoaggiunti, il che è importante in MQ.
Naturalmente se lo spazio di Hilbert è complesso, il prodotto scalare è coniugato-lineare nel primo argomento e lineare nel secondo, così in luogo del [tex]V'[/tex] che dice Brezis occorre prendere lo spazio coniugato-duale o antiduale. Le formule di questo post si riscrivono pari pari.
Questa qua essenzialmente è la costruzione che dice Brezis quando, nel capitolo sugli spazi di Hilbert, pone la domanda:
"[tex]H[/tex] e [tex]H'[/tex]: identificarli o non identificarli?"
sicuramente l'avrai almeno vista. Brezis dice che, se uno spazio di Banach riflessivo [tex]V[/tex] si immerge con continuità in uno spazio di Hilbert [tex]H[/tex], allora in modo naturale si definisce anche una immersione continua e densa di [tex]H[/tex] in [tex]V'[/tex]:
[tex]$V \subset H \subset V'[/tex]
e identificando [tex]H[/tex] con [tex]H'[/tex], si ha che il prodotto della dualità di [tex]V[/tex] coincide con il prodotto scalare di [tex]H[/tex] quando i fattori sono in [tex]H[/tex] stesso:
[tex]$ \langle v', v \rangle_{V', V}=(v', v)_{H}[/tex] se [tex]v', v\in H[/tex]
questo in pratica ti permette di estendere il prodotto scalare
[tex]$(h_1, h_2), \quad h_1, h_2 \in H[/tex]
indebolendo le richieste su un fattore (ovvero prendendolo nella più ampia classe [tex]V'[/tex]) e rinforzandole sull'altro (prendendolo nella ristretta classe [tex]V[/tex]):
[tex]$\langle v', v \rangle, \quad v' \in V', v \in V[/tex]
Tutto questo serve per trattare rigorosamente argomenti come questo che dice Arrigo Amadori, ovvero "estendere" uno spazio di Hilbert in modo da trovare autovettori generalizzati per gli operatori autoaggiunti, il che è importante in MQ.
Naturalmente se lo spazio di Hilbert è complesso, il prodotto scalare è coniugato-lineare nel primo argomento e lineare nel secondo, così in luogo del [tex]V'[/tex] che dice Brezis occorre prendere lo spazio coniugato-duale o antiduale. Le formule di questo post si riscrivono pari pari.
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