Riflessioni sul teorema del Dini
Riscrivo l'enunciato
supponiamo che $m=1$
_se avessi solo l'ipotesi che $f$ è derivabile in $(x_0,y_0)$ dove cade da qualche parte il teorema?
nella dimostrazione uso il fatto che sia di classe $C^1$ per dire che esiste un intorno ($\eta, \delta$) contenuto in $D$, se la derivata non è continua questo non vale?
_se $D$ non è aperto cosa succede? nella dimostrazione non trovo il punto in cui lo usa...
supponiamo che $m=1$
_se avessi solo l'ipotesi che $f$ è derivabile in $(x_0,y_0)$ dove cade da qualche parte il teorema?
nella dimostrazione uso il fatto che sia di classe $C^1$ per dire che esiste un intorno ($\eta, \delta$) contenuto in $D$, se la derivata non è continua questo non vale?
_se $D$ non è aperto cosa succede? nella dimostrazione non trovo il punto in cui lo usa...
Risposte
Ti riporto un enunciato che potrebbe fare al caso tuo:
Sia $f$ una funzione differenziabile in un intorno aperto $U=U(x_0,y_0) in RR^nxRR$ tale da soddisfare le condizioni $f(x_0,y_0)=0$ e $(df)/(dy)(x_0,y_0)!=0$ $AA(x,y)inU$.
Allora l'equazione $f(x,y)=0$ risolta rispetto alla variabile $y$ definisce implicitamente una e una sola funzione $g$ differenziabile in un intorno aperto $V=V(x_0)$ e risulta $AAx in V$
$(dg)/(dx_j)(x)=-((df)/(dx_j)(x,g(x)))/((df)/(dy)(x,g(x)))$
Sia $f$ una funzione differenziabile in un intorno aperto $U=U(x_0,y_0) in RR^nxRR$ tale da soddisfare le condizioni $f(x_0,y_0)=0$ e $(df)/(dy)(x_0,y_0)!=0$ $AA(x,y)inU$.
Allora l'equazione $f(x,y)=0$ risolta rispetto alla variabile $y$ definisce implicitamente una e una sola funzione $g$ differenziabile in un intorno aperto $V=V(x_0)$ e risulta $AAx in V$
$(dg)/(dx_j)(x)=-((df)/(dx_j)(x,g(x)))/((df)/(dy)(x,g(x)))$
eh, ma ho capito, questo è il teorema del dini...
Bella domanda, ma spesso le condizioni sono solo sufficienti non è detto che siano necessarie, infatti il teorema non dice CNES, dice ipotizziamo che....
E allora si preferisce magari riportare un esempio in cui non hai possibilità alcuna di ricavare una inversa in un punto, nell'ipotesi di derivata non continua.
L'esempio è il seguente:
$f(x)={((x^2*sin(1/x), x!=0),(0, x=0))$
Questa funzione ha derivata ovunque anche per $x=0$ ma la derivata lì non è continua, e se provi a studiarla in un qualunque intorno dell'origine, questa oscilla infinite volte per esempio assume il valore $y=0$ infinite volte in qualunque intorno dell'origine, non è quindi invertibile.
Il teorema del Dini e anche quello a più dimensioni, sfrutta proprio l'invertibilità della funzione nel punto.
Per il fatto che l'insieme dev'essere aperto, ci devo pensare ora non mi viene nulla.
PS
Dall'esempio ad una dimensione che ti ho dato puoi facilmente ricavarne uno in due, e quindi il fatto che non può esistere una implicita intorno a zero.
E allora si preferisce magari riportare un esempio in cui non hai possibilità alcuna di ricavare una inversa in un punto, nell'ipotesi di derivata non continua.
L'esempio è il seguente:
$f(x)={((x^2*sin(1/x), x!=0),(0, x=0))$
Questa funzione ha derivata ovunque anche per $x=0$ ma la derivata lì non è continua, e se provi a studiarla in un qualunque intorno dell'origine, questa oscilla infinite volte per esempio assume il valore $y=0$ infinite volte in qualunque intorno dell'origine, non è quindi invertibile.
Il teorema del Dini e anche quello a più dimensioni, sfrutta proprio l'invertibilità della funzione nel punto.
Per il fatto che l'insieme dev'essere aperto, ci devo pensare ora non mi viene nulla.
PS
Dall'esempio ad una dimensione che ti ho dato puoi facilmente ricavarne uno in due, e quindi il fatto che non può esistere una implicita intorno a zero.
Sì scusa hai ragione, ho frainteso io la tua domanda ! 
Ho pensato a tutt'altra questione.
Ho pensato a tutt'altra questione.
"regim":
Bella domanda, ma spesso le condizioni sono solo sufficienti non è detto che siano necessarie, infatti il teorema non dice CNES, dice ipotizziamo che....
E allora si preferisce magari riportare un esempio in cui non hai possibilità alcuna di ricavare una inversa in un punto, nell'ipotesi di derivata non continua.
L'esempio è il seguente:
$f(x)={((x^2*sin(1/x), x!=0),(0, x=0))$
Questa funzione ha derivata ovunque anche per $x=0$ ma la derivata lì non è continua, e se provi a studiarla in un qualunque intorno dell'origine, questa oscilla infinite volte per esempio assume il valore $y=0$ infinite volte in qualunque intorno dell'origine, non è quindi invertibile.
ok, grazie per il controesempio. Quello che ancora non capisco è: nella dimostrazione, dove uso in modo specifico la continuità della derivata?
se la derivata rispetto a y è diversa da 0, allora è maggiore (minore) di 0 in tutto un intorno (rettangolo) di (x0,y0). in sostanza applichi il t. della permanenza del segno alla derivata parziale, essendo quest'ultima continua
Per inciso, la situazione che si verifica, che ti ha illustrato enr87, ti assicura una funzione strettamente crescente o decrescente in una variabile, quindi invertibile perchè iniettiva, insomma sempre sull'invertibilità si va a parare.
La continuità delle derivate è davvero necessaria, la sola differenziabilità non basta. Questo vale sia per il teorema della funzione implicita che stiamo considerando qui sia per il teorema della funzione inversa che enuncio:
Sia $f: A \subset RR^n \to RR^n$ con $A$ aperto non vuoto, $f\in C^1(A)$ e sia $x_0\in A$ tale che $f'(x_0)$ è non singolare. Allora esiste un intorno aperto $U$ di $x_0$ tale che la restrizione di $f$ ad $U$ è invertibile; inoltre, per ogni $x\inU$, risulta che $[f^{-1}(x)]'=[f'(x)]^{-1}$.
Questo teorema e il teorema della funzione implicita sono equivalenti, nel senso che da uno si può fare discendere l'altro. Ma per questo teorema è più facile mostrare che la continuità delle derivate è davvero necessaria (cfr. Lang Undergraduate analysis [XVIII, §3] Example 4):
Sia $f(x)={(x+2x^2sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$. Questa applicazione è differenziabile e $f'(0)!=0$, ma non è ingettiva in alcun intorno aperto di $0$. E difatti $f'$ non è continua in $0$.
Su questo punto segnalo che ci sono delle osservazioni ulteriori sul libro di Rudin Principi di analisi matematica, edizione italiana, pag.225 (§9.4).
Sia $f: A \subset RR^n \to RR^n$ con $A$ aperto non vuoto, $f\in C^1(A)$ e sia $x_0\in A$ tale che $f'(x_0)$ è non singolare. Allora esiste un intorno aperto $U$ di $x_0$ tale che la restrizione di $f$ ad $U$ è invertibile; inoltre, per ogni $x\inU$, risulta che $[f^{-1}(x)]'=[f'(x)]^{-1}$.
Questo teorema e il teorema della funzione implicita sono equivalenti, nel senso che da uno si può fare discendere l'altro. Ma per questo teorema è più facile mostrare che la continuità delle derivate è davvero necessaria (cfr. Lang Undergraduate analysis [XVIII, §3] Example 4):
Sia $f(x)={(x+2x^2sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$. Questa applicazione è differenziabile e $f'(0)!=0$, ma non è ingettiva in alcun intorno aperto di $0$. E difatti $f'$ non è continua in $0$.
Su questo punto segnalo che ci sono delle osservazioni ulteriori sul libro di Rudin Principi di analisi matematica, edizione italiana, pag.225 (§9.4).
In realtà basta la continuità (e l'esistenza e l'invertibilità) della derivata rispetto alla variabile da esplicitare, non serve rispetto a tutte.
"dissonance":
La continuità delle derivate è davvero necessaria, la sola differenziabilità non basta. Questo vale sia per il teorema della funzione implicita che stiamo considerando qui sia per il teorema della funzione inversa che enuncio:
Sia $f: A \subset RR^n \to RR^n$ con $A$ aperto non vuoto, $f\in C^1(A)$ e sia $x_0\in A$ tale che $f'(x_0)$ è non singolare. Allora esiste un intorno aperto $U$ di $x_0$ tale che la restrizione di $f$ ad $U$ è invertibile; inoltre, per ogni $x\inU$, risulta che $[f^{-1}(x)]'=[f'(x)]^{-1}$.
Questo teorema e il teorema della funzione implicita sono equivalenti, nel senso che da uno si può fare discendere l'altro. Ma per questo teorema è più facile mostrare che la continuità delle derivate è davvero necessaria (cfr. Lang Undergraduate analysis [XVIII, §3] Example 4):
Sia $f(x)={(x+2x^2sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$. Questa applicazione è differenziabile e $f'(0)!=0$, ma non è ingettiva in alcun intorno aperto di $0$. E difatti $f'$ non è continua in $0$.
Su questo punto segnalo che ci sono delle osservazioni ulteriori sul libro di Rudin Principi di analisi matematica, edizione italiana, pag.225 (§9.4).
Supponi in un intorno del punto il differenziale esistere limitato(in modo che valga nel baby Rudin la 47 del teorema 9.24) ma non continuo(che invece ti *assicura* la validità della 47 in un opportuno intorno), posso comunque dimostrare l'esistenza dell'inversa, ammessa l'invertibilità del differenziale nel punto in cui la cerchiamo, infatti, confronta il teorema 9.19(necessario al teorema dell'inversa) del baby Rudin, suppone solo l'esistenza e la limitatezza del differenziale, non la continuità, quella la sfrutta unicamente per dimostrare la continuità del differenziale dell'inversa.
L'esempio da me proposto era solo un controesempio - tra l'altro andrebbe opportunamente manipolato perchè oltretutto ha derivata nulla nell'origine- che voleva mostrare solo che un teorema che avesse come ipotesi quella più debole citata da nato_pigro, non poteva essere preso in considerazione per dimostrare l'esistenza dell'inversa e quindi dell'implicita.
ok, molte grazie.
Ma per quanto riguarda l'ipotesi $D$ aperto? perchè è necessaria?
Ma per quanto riguarda l'ipotesi $D$ aperto? perchè è necessaria?
E come fai a parlare di derivate in un insieme non aperto? In $RR$ si può introdurre il concetto di derivata destra e derivata sinistra, ma già in $RR^2$ che fai?
Solo per rimarcare la mia consonanza con quanto detto da dissonance. Il fatto che un punto di un insieme sia anche di accumulazione per detto insieme (condizioni minimali perché a uno possa passar per la testa di fare un qualunque tipo di derivata sensata) non è sufficiente a garantire che si possano definire derivate parziali o direzionali. Basta immaginare punti "scattered" su una spirale che si avviticchia verso l'origine: se questo è l'insieme di def della funzione, sarà dura farne derivate direzionali.
L'esempio di Fioravante era quello che mi mancava per dimostrare l'impossibilità di dimostrare il teorema dell'inversa nel caso di insieme di def non aperto.
Però, forse sarà l'ora, ma se prendo il caso di una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema dell'inversa anche a più dimensioni, e che quindi è definita in un aperto che contiene il punto $P$ in cui il differenziale è invertibile, e poi considero la funzione dedotta da quella sottraendo una successioni di punti isolati che abbia $P$ come punto di accumulazione e in cui non considero definita la funzione, l'insieme non è più aperto, ma per il resto non cambia nulla.
Però, forse sarà l'ora, ma se prendo il caso di una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema dell'inversa anche a più dimensioni, e che quindi è definita in un aperto che contiene il punto $P$ in cui il differenziale è invertibile, e poi considero la funzione dedotta da quella sottraendo una successioni di punti isolati che abbia $P$ come punto di accumulazione e in cui non considero definita la funzione, l'insieme non è più aperto, ma per il resto non cambia nulla.
"Luca.Lussardi":
In realtà basta la continuità (e l'esistenza e l'invertibilità) della derivata rispetto alla variabile da esplicitare, non serve rispetto a tutte.
Nella dimostrazione che ho io per dimostrare la continuatà della funzione implicita dimostro che è lipshitziana, ma per fare ciò ho bisogno che anche l'altra derivata parziale sia continua.
Questo non mi dice che quest'ultima ipotesi sia necessaria, però io l'ho usata nella dimostrazione... esiste un'altra dimostrazione per cui se ne può fare a meno?
Sì, è la dimostrazione che forse vedrai in corsi superiori, poichè è più da analisi non lineare, in particolare si fa in dimensione infinita. Per avere la continuità della funzione implicita basta che il differenziale rispetto alla variabile da esplicitare esista e sia invertibile nel punto attorno a cui esplicitare. Se invece vuoi che la funzione implicita sia $C^1$ allora sì va tutto fatto in $C^1$.
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