Riferimenti bibliografici per il teorema di Hilbert-Schmidt
Qualcuno mi saperebbe linkare o citare un buon riferimento contenente la dimostrazione completa del seguente teorema (credo noto come teorema di Hilbert Schmidt, anche se ho notato che la seconda parte non e' solitamente inclusa in quel che in letteratura e' chiamato teorema di HS)
"Dato A operatore con kernel K, $A: L^2(X) rightarrow L^2(Y)$, se K appartiene a $L^2(X times Y )$ allora A e' compatto e appartiene alla classe di operatori di Hilbert Schmidt.
Di converso, se $A: L^2 (X) rightarrow L^2(Y)$ appartiene alla classe di HS, allora e' un operatore integrale con kernel in $L^2(X times Y )$."
Mi va bene qualunque tipo di riferimento, sia esso un pdf online con le dispense di qualche universita' o un libro facilmente reperibile in una qualunque maggior biblioteca universitaria.
Un grazie anticipato a tutti
P.S. Il mio problema deriva essenzialmente dall'aver trovato sinora solo dimostrazioni della prima parte e non del "viceversa"
"Dato A operatore con kernel K, $A: L^2(X) rightarrow L^2(Y)$, se K appartiene a $L^2(X times Y )$ allora A e' compatto e appartiene alla classe di operatori di Hilbert Schmidt.
Di converso, se $A: L^2 (X) rightarrow L^2(Y)$ appartiene alla classe di HS, allora e' un operatore integrale con kernel in $L^2(X times Y )$."
Mi va bene qualunque tipo di riferimento, sia esso un pdf online con le dispense di qualche universita' o un libro facilmente reperibile in una qualunque maggior biblioteca universitaria.
Un grazie anticipato a tutti
P.S. Il mio problema deriva essenzialmente dall'aver trovato sinora solo dimostrazioni della prima parte e non del "viceversa"
Risposte
Credo che si possa fare a mano... Ho già una mezza idea; dopo pranzo vedo un po' di formalizzarla.
Mentre aspetti Gugo prova a dare un'occhiata al libro di Moretti:
http://books.google.it/books?id=yvkBShS ... &q&f=false
http://books.google.it/books?id=yvkBShS ... &q&f=false
Butto là due idee... Ovviamente sono da controllare e non so se portano effettivamente al risultato.
Nel seguito suppongo che gli spazi siano reali; per gli spazi complessi si dovranno mettere in gioco un po' di coniugati, ma confido che ciò sia possibile senza stravolgere nulla.
Inoltre, giacché non è stato specificato, immagino che un operatore \(A:L^2(X,\mu)\to L^2(Y,\nu)\) (con \(X,Y\subseteq \mathbb{R}^N\) con \(\mu,\ \nu =\text{ misura di Lebesgue}\), oppure \(X,Y\) spazi di Hausdorff localmente compatti con misure di Borel positive \(\mu,\ \nu\) e tali che \(L^2(X,\mu),\ L^2(Y,\nu)\) siano separabili) venga detto operatore di Hilbert-Schmidt se e solo se esso è un operatore lineare limitato tale che, per una fissata base ortonormale \((\phi_n)\) di \(L^2(X,\mu)\), si abbia:
\[
\sum_{n=0}^\infty \| A\phi_n\|_{L^2(Y,\nu)} <\infty\; .
\]
Ovviamente, poi, si dimostra che la scelta della base è ininfluente.
Vogliamo far vedere che se \(A:L^2(X,\mu) \to L^2(Y,\nu)\) è di H-S, allora esiste una funzione \(k\in L^2(X\times Y,\mu\times \nu)\) tale che:
\[
Au(y) = \int_X k(x,y)\ u(x)\ \text{d} \mu\; ;
\]
quindi il problema consiste nello scrivere esplicitamente la funzione \(k\).
Prendiamo due basi ortonormali \((\phi_n)\) di \(L^2(X,\mu)\) e \((\psi_m)\) di \(L^2(Y,\nu)\) e, per ogni \(u \in L^2(X,\mu)\), abbiamo:
\[
\begin{split}
Au &= \sum_{m=0}^\infty \langle Au,\psi_m\rangle\ \psi_m\\
&= \sum_{m=0}^\infty \left\langle \sum_{n=0}^\infty \langle u,\phi_n\rangle\ A\phi_n ,\psi_m\right\rangle\ \psi_m\; ;
\end{split}
\]
ora, il coefficiente di \(\psi_m\) nella precedente sommatoria è un funzionale lineare limitato su \(L^2(X,\mu)\) (il che discende dall'ortonormalità delle basi, dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e dalla definizione di operatore H-S, se non erro), e precisamente è quello che assegna:
\[
L^2(X,\mu) \ni u\mapsto \left\langle \sum_{n=0}^\infty \langle u,\phi_n\rangle\ A\phi_n ,\psi_m\right\rangle \in \mathbb{R}\; ,
\]
sicché, giocando un po' con le sommatorie, si vede che esso è rappresentato (a norma del teorema di Riesz) dalla funzione:
\[
v^m := \sum_{n=0}^\infty \langle A\phi_n, \psi_m\rangle\ \phi_n \in L^2(X,\mu)\; .
\]
Per fissato \(M\in \mathbb{M}\) poniamo \(A_M u = \sum_{m=0}^M \langle u,v^m\rangle\ \psi_m\), cioè:
\[
(A_Mu)(y) = \sum_{m=0}^M \left( \int_X u(x)\ v^m(x)\ \text{d} \mu\right)\ \psi_m(y) = \int_X u(x)\ \left(\sum_{m=0}^M v^m(x)\ \psi_m(y)\right)\ \text{d} \mu\; ;
\]
si vede che \(A_M\) è un operatore lineare a rango finito, perciò è limitato ed addirittura compatto; inoltre credo si possa far vedere che:
\[
\lim_M A_M u =Au
\]
in norma operatoriale.
D'altra parte, la successione di nuclei:
\[
k_M (x,y):= \sum_{m=0}^M v^m(x)\ \psi_m(y)
\]
è costituita da funzioni di \(L^2(X\times Y, \mu\times \nu)\) (perché \(k_M\) è somma di prodotti di funzioni a quadrato sommabile e per il teorema di Fubini-Tonelli) e se si riesce a far vedere che la successione \((k_M)\) (i.e. che la serie \(\sum_{m=0}^\infty v^m(x)\ \psi_m(y)\)) converge in \(L^2(X\times Y,\mu\times \nu)\) si prova che:
\[
Au(y) = lim_M (A_M u)(y) = \int_X u(x)\ k(x,y)\ \text{d} \mu
\]
ed abbiamo finito.
Ora, come detto, bisognerebbe controllare se è tutto giusto... Provate un po', che oggi sono abbastanza indaffarato.
Nel seguito suppongo che gli spazi siano reali; per gli spazi complessi si dovranno mettere in gioco un po' di coniugati, ma confido che ciò sia possibile senza stravolgere nulla.
Inoltre, giacché non è stato specificato, immagino che un operatore \(A:L^2(X,\mu)\to L^2(Y,\nu)\) (con \(X,Y\subseteq \mathbb{R}^N\) con \(\mu,\ \nu =\text{ misura di Lebesgue}\), oppure \(X,Y\) spazi di Hausdorff localmente compatti con misure di Borel positive \(\mu,\ \nu\) e tali che \(L^2(X,\mu),\ L^2(Y,\nu)\) siano separabili) venga detto operatore di Hilbert-Schmidt se e solo se esso è un operatore lineare limitato tale che, per una fissata base ortonormale \((\phi_n)\) di \(L^2(X,\mu)\), si abbia:
\[
\sum_{n=0}^\infty \| A\phi_n\|_{L^2(Y,\nu)} <\infty\; .
\]
Ovviamente, poi, si dimostra che la scelta della base è ininfluente.
Vogliamo far vedere che se \(A:L^2(X,\mu) \to L^2(Y,\nu)\) è di H-S, allora esiste una funzione \(k\in L^2(X\times Y,\mu\times \nu)\) tale che:
\[
Au(y) = \int_X k(x,y)\ u(x)\ \text{d} \mu\; ;
\]
quindi il problema consiste nello scrivere esplicitamente la funzione \(k\).
Prendiamo due basi ortonormali \((\phi_n)\) di \(L^2(X,\mu)\) e \((\psi_m)\) di \(L^2(Y,\nu)\) e, per ogni \(u \in L^2(X,\mu)\), abbiamo:
\[
\begin{split}
Au &= \sum_{m=0}^\infty \langle Au,\psi_m\rangle\ \psi_m\\
&= \sum_{m=0}^\infty \left\langle \sum_{n=0}^\infty \langle u,\phi_n\rangle\ A\phi_n ,\psi_m\right\rangle\ \psi_m\; ;
\end{split}
\]
ora, il coefficiente di \(\psi_m\) nella precedente sommatoria è un funzionale lineare limitato su \(L^2(X,\mu)\) (il che discende dall'ortonormalità delle basi, dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e dalla definizione di operatore H-S, se non erro), e precisamente è quello che assegna:
\[
L^2(X,\mu) \ni u\mapsto \left\langle \sum_{n=0}^\infty \langle u,\phi_n\rangle\ A\phi_n ,\psi_m\right\rangle \in \mathbb{R}\; ,
\]
sicché, giocando un po' con le sommatorie, si vede che esso è rappresentato (a norma del teorema di Riesz) dalla funzione:
\[
v^m := \sum_{n=0}^\infty \langle A\phi_n, \psi_m\rangle\ \phi_n \in L^2(X,\mu)\; .
\]
Per fissato \(M\in \mathbb{M}\) poniamo \(A_M u = \sum_{m=0}^M \langle u,v^m\rangle\ \psi_m\), cioè:
\[
(A_Mu)(y) = \sum_{m=0}^M \left( \int_X u(x)\ v^m(x)\ \text{d} \mu\right)\ \psi_m(y) = \int_X u(x)\ \left(\sum_{m=0}^M v^m(x)\ \psi_m(y)\right)\ \text{d} \mu\; ;
\]
si vede che \(A_M\) è un operatore lineare a rango finito, perciò è limitato ed addirittura compatto; inoltre credo si possa far vedere che:
\[
\lim_M A_M u =Au
\]
in norma operatoriale.
D'altra parte, la successione di nuclei:
\[
k_M (x,y):= \sum_{m=0}^M v^m(x)\ \psi_m(y)
\]
è costituita da funzioni di \(L^2(X\times Y, \mu\times \nu)\) (perché \(k_M\) è somma di prodotti di funzioni a quadrato sommabile e per il teorema di Fubini-Tonelli) e se si riesce a far vedere che la successione \((k_M)\) (i.e. che la serie \(\sum_{m=0}^\infty v^m(x)\ \psi_m(y)\)) converge in \(L^2(X\times Y,\mu\times \nu)\) si prova che:
\[
Au(y) = lim_M (A_M u)(y) = \int_X u(x)\ k(x,y)\ \text{d} \mu
\]
ed abbiamo finito.
Ora, come detto, bisognerebbe controllare se è tutto giusto... Provate un po', che oggi sono abbastanza indaffarato.
"gugo82":A chi lo dici... Comunque mi sono ricordato di un riferimento bibliografico su cui c'è questo teorema: si tratta di The Schroedinger Equation di Berezin e Shubin, Supplemento 1, Prop. 2.5:
Ora, come detto, bisognerebbe controllare se è tutto giusto... Provate un po', che oggi sono abbastanza indaffarato.
http://books.google.it/books?id=sU6j9Xd ... &q&f=false
Grazie mille ad entrambi. Ho visto le risposte solo ora.
Provo a lavorarci questo weekend e vedo come va
/tia
Provo a lavorarci questo weekend e vedo come va
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