Riemann vs Lebesgue
Considerare l'integrale:
$ int_1^infty sin(x)/x^p dx $
Per quali valori di p esiste l'integrale secondo Riemann, e per quali valori di p esiste l'integrale secondo Lebesgue?
$ int_1^infty sin(x)/x^p dx $
Per quali valori di p esiste l'integrale secondo Riemann, e per quali valori di p esiste l'integrale secondo Lebesgue?
Risposte
L'integrale esiste secondo legebue per ogni $p>1$
Mentre vale per ogni p secondo Rienman.....
Sbaglio?!?
Mentre vale per ogni p secondo Rienman.....
Sbaglio?!?
Queste sono cose che non ho mai saputo fare a modo. Ma mi pare di ricordare che tutto cio' che e' integrabile secondo Reimann lo e' anche secondo Lebesgue, infatti quest'ultimo dovrebbe essere un'ampliamento dell'integrale di Reimann.
Quindi la tua risposta dovrebbe essere sbagliata.
Platone
Quindi la tua risposta dovrebbe essere sbagliata.
Platone
esatto... ora non ho idea di quale sia la sol. (sicuramente per $p>=1$ va bene).. però la risp di Ciukino è sicuramente errata. R-int $->$ L-int
mmmm...
vediamo...
può darsi che abbia sbagliato...però non sono d'accordo che qualsiasi funzione integrabile secondo Rienman lo è anche secondo Lebegue.
Infatti secondo Lebegue $f(x)$ è integrabile solo se $|f(x)|$ è integrabile...mentre per Rienman questo non è vero.
Infatti se prendo la funzione sinc è integrabile secondo rienman,ma non secondo Lebegue.
vediamo...
può darsi che abbia sbagliato...però non sono d'accordo che qualsiasi funzione integrabile secondo Rienman lo è anche secondo Lebegue.
Infatti secondo Lebegue $f(x)$ è integrabile solo se $|f(x)|$ è integrabile...mentre per Rienman questo non è vero.
Infatti se prendo la funzione sinc è integrabile secondo rienman,ma non secondo Lebegue.
Platone ha ragione.
L'implicazione che vale è quella doppia:
$f $ sommabile in$ D <=> |f|$ sommabile in $ D$
Pertanto, anche se sembra che $|f|$ " riduca il numero di funzioni integrabili" in realtà, grazie alla corrispondenza tra sommabilità e integrabilità, ( e al fatto che la sommabilità è rispettata anche con intervalli illimitati o con punti isolati in numero finito), è il contrario.
L'implicazione che vale è quella doppia:
$f $ sommabile in$ D <=> |f|$ sommabile in $ D$
Pertanto, anche se sembra che $|f|$ " riduca il numero di funzioni integrabili" in realtà, grazie alla corrispondenza tra sommabilità e integrabilità, ( e al fatto che la sommabilità è rispettata anche con intervalli illimitati o con punti isolati in numero finito), è il contrario.
Vediamo di sconvolgere ulteriormente la discussione; faccio un esempio di funzione integrabile secondo Riemann ma non secondo Lebesgue:
$f(x) = (-1)^n/n$ per $(n-1)lex
Il buon Riemann direbbe:
$ int_0^infty f(x) dx = lim_(N->infty) int_0^N f(x) dx = sum_(n=1)^infty (-1)^n/n =log2$
Lebesgue direbbe:
$ int_0^infty f(x) dx = int_0^infty f_+(x) dx -int_0^infty f_-(x) dx = 1+1/3+1/5+...-(1/2+1/4+1/6+...)$
Quindi non esiste
$f(x) = (-1)^n/n$ per $(n-1)lex
Il buon Riemann direbbe:
$ int_0^infty f(x) dx = lim_(N->infty) int_0^N f(x) dx = sum_(n=1)^infty (-1)^n/n =log2$
Lebesgue direbbe:
$ int_0^infty f(x) dx = int_0^infty f_+(x) dx -int_0^infty f_-(x) dx = 1+1/3+1/5+...-(1/2+1/4+1/6+...)$
Quindi non esiste
In effetti, qui, però non è rispettata la condizione di avare un numero finito di punti isolati.
O sbaglio?
O sbaglio?
Ma quando nella teoria di Lebesgue introduci questa condizione?
guarda che i passaggi che hai fatto per integrare secondo riemann vanno bene anche secondo lebesgue...
il secondo procedimento immagino che sia tecnicamente sbagliato
un pò come dire che $\sum_{n=1}^{\infty}((-1)^n)/n=\sum_{n=1}^{\infty}1/(2n)-\sum_{n=1}^{\infty}1/(2n-1)$. è sbagliato e basta: non hai i teoremi di convergenza che ti permettono di spezzare la serie
e poi non è neanche vero che una funzione è integrabile secondo lebesgue se e solo se lo è il suo modulo. Prendete in $[0,1]$ un insieme $S$ non misurabile secondo Lebesgue. Sia $f$ la funzione che vale $-1$ in $S$ e $1$ altrove in $[0,1]$. Evidentemente $f$ non è integrabile ma lo è il suo modulo.
il secondo procedimento immagino che sia tecnicamente sbagliato
un pò come dire che $\sum_{n=1}^{\infty}((-1)^n)/n=\sum_{n=1}^{\infty}1/(2n)-\sum_{n=1}^{\infty}1/(2n-1)$. è sbagliato e basta: non hai i teoremi di convergenza che ti permettono di spezzare la serie
e poi non è neanche vero che una funzione è integrabile secondo lebesgue se e solo se lo è il suo modulo. Prendete in $[0,1]$ un insieme $S$ non misurabile secondo Lebesgue. Sia $f$ la funzione che vale $-1$ in $S$ e $1$ altrove in $[0,1]$. Evidentemente $f$ non è integrabile ma lo è il suo modulo.
Quando ho una f(x) di segno qualsiasi, come in questo caso, devo considerare le misure degli insiemi delle ordinate. In particolare: $f(x) = f_+(x) - f_-(x)$
avendo definito:
$ f_+(x) = (|f(x)|+f(x))/2$ e $f_(-)(x) = (|f(x)|-f(x))/2$
Quindi è giusto spezzare gli integrali in quel modo secondo Lebesgue.
avendo definito:
$ f_+(x) = (|f(x)|+f(x))/2$ e $f_(-)(x) = (|f(x)|-f(x))/2$
Quindi è giusto spezzare gli integrali in quel modo secondo Lebesgue.
ma credo che tu lo possa fare a patto che gli integrali che rimangono hanno senso.
Non vedo perchè il procedimento che tu assegni a riemann non dovrebbe funzionare
per lebesgue: hai tutti i teoremi che servono!
Non vedo perchè il procedimento che tu assegni a riemann non dovrebbe funzionare
per lebesgue: hai tutti i teoremi che servono!
"ubermensch":
e poi non è neanche vero che una funzione è integrabile secondo lebesgue se e solo se lo è il suo modulo. Prendete in $[0,1]$ un insieme $S$ non misurabile secondo Lebesgue. Sia $f$ la funzione che vale $-1$ in $S$ e $1$ altrove in $[0,1]$. Evidentemente $f$ non è integrabile ma lo è il suo modulo.
Ma se calcoli un integrale in un insieme che non è misurabile secondo Lebesgue, non ha senso parlare di integrali secondo Lebesgue.
"ubermensch":
Non vedo perchè il procedimento che tu assegni a riemann non dovrebbe funzionare
per lebesgue
Non lo posso assegnare a Lebesgue perchè $f(x)$ cambia di segno. f(x) è misurabile se e solo se è misurabile il suo insieme delle ordinate.
Voglio calcolare $int_E f$ con E misurabile secondo Lebesgue
Insieme delle ordinate per f(x) con segno qualsiasi:
$Gamma = Gamma(f_+) uu Gamma(f_-)$
$Gamma(f_+)={(x,y) in ExxRR: 0 le y le f_(+)(x)}$
$Gamma(f_-)={(x,y) in ExxRR: f_(-)(x) le y le 0}$
f è misurabile $iff$ $Gamma$ è misurabile.
Insieme delle ordinate per f(x) con segno qualsiasi:
$Gamma = Gamma(f_+) uu Gamma(f_-)$
$Gamma(f_+)={(x,y) in ExxRR: 0 le y le f_(+)(x)}$
$Gamma(f_-)={(x,y) in ExxRR: f_(-)(x) le y le 0}$
f è misurabile $iff$ $Gamma$ è misurabile.
Esistono eccome funzioni integrabili secondo Riemann, ma non secondo Lebesgue. Un caso "famoso" è proprio quello riportato da luca.barletta nel caso $p=1$:
$ \int_0^{\infty} sin(t)/t dt $
è integrabile secondo Riemann, ma non secondo Lebesgue!
Ammetto di non saper rifare la dimostrazione che vidi quando ho studiato queste cose... comunque l'ho ritrovata sul mio libro di Analisi e al massimo posso fare copia-incolla se a quelcuno interessa!
In pratica si dimostra che esiste l'integrale nel senso di Riemann, ma che la funzione $sin(t)/t$ non è assolutamente integrabile visto che l'integrale maggiora una serie armonica.
$ \int_0^{\infty} sin(t)/t dt $
è integrabile secondo Riemann, ma non secondo Lebesgue!
Ammetto di non saper rifare la dimostrazione che vidi quando ho studiato queste cose... comunque l'ho ritrovata sul mio libro di Analisi e al massimo posso fare copia-incolla se a quelcuno interessa!
In pratica si dimostra che esiste l'integrale nel senso di Riemann, ma che la funzione $sin(t)/t$ non è assolutamente integrabile visto che l'integrale maggiora una serie armonica.
esatto...è l'esempio che citavo io.
Quindi, se siamo d'accordo su questo, come si risolve l'esercizio proposto?
Che per $p>1$ tutto vada bene siamo d'accordo. Per $p=1$ possiamo studiare la convergenza su $[\pi/2,\infty)$ senza che cambi molto: integrando per parti si riesce a dimostrare che su questo insieme l'integrale di Riemann converge. Per quello di Lebesgue bisogna dimostrare che la funzione non è assolutamente integrabile. Senza che cambi nulla sulla convergenza si può studiare la convergenza su $[0,\infty)$ si dimostra così che non si ha convergenza:
$ \int_0^{N\pi} |sin(t)|/t dt = \sum_{k=0}^N \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} |sin(t)|/t dt > \sum_{k=0}^N 1/(k\pi) \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} |sin(t)| dt $
l'ultimo diverge sicuramente se $N\to \infty$.
Quindi, riassumendo:
Riemann $\iff$ $p\geq 1$
Lebesgue $\iff$ $p>1$
$ \int_0^{N\pi} |sin(t)|/t dt = \sum_{k=0}^N \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} |sin(t)|/t dt > \sum_{k=0}^N 1/(k\pi) \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} |sin(t)| dt $
l'ultimo diverge sicuramente se $N\to \infty$.
Quindi, riassumendo:
Riemann $\iff$ $p\geq 1$
Lebesgue $\iff$ $p>1$
Coincide con le mie conclusioni. Siete tutti d'accordo?
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