Riemann integrabilità e dominio integranda
Per quali $\alpha$ si ha che $f_\alpha(x)=log(sinx)/log(x^\alpha+x)$ è Riemann-integrabile nell'intervallo $[0,1]$
non posso già dire che per $AA \alpha$ si ha che $f_\alpha$ non è riemann-integrabile siccome non è definita in $0$?
non posso già dire che per $AA \alpha$ si ha che $f_\alpha$ non è riemann-integrabile siccome non è definita in $0$?
Risposte
"nato_pigro":
Per quali $\alpha$ si ha che $f_\alpha(x)=log(sinx)/log(x^\alpha+x)$ è Riemann-integrabile nell'intervallo $[0,1]$
non posso già dire che per $AA \alpha$ si ha che $f_\alpha$ non è riemann-integrabile siccome non è definita in $0$?
no, il valore in un punto non è importante ai fini dell'integrale così come non essere definita in un punto, o in un qualunque insieme di misura nulla (es un numero finito di punti)
non si deve ricorrere alla prima consequenza del criterio fondamentale di integrabilità? ovvero che una funzione continua è integrabile? In effetti dire che se è continua è integrabile non significa che se non è continua non è integrabile... però non saprei...
Innanzitutto va da sé che la funzione è continua in $]0,1]$, quindi è integrabile alla Riemann su ogni intervallo del tipo $[a,1]$ con $a>0$, per ogni $alpha \in RR$.
Notato che la funzione integranda è positiva intorno a $0$ (poichè infatti $0<= sinx ,x^alpha+x <= 1$ se $x$ è scelto abbastanza prossimo a $0$), possiamo affermare che la funzione $(ln sinx)/(ln(x^alpha +x))$ è integrabile (in senso improprio, of course) se e solo se essa è sommabile -o assolutamente integrabile che dir si voglia- in $[0,1]$; pertanto per risolvere l'esercizio occorre e basta applicare uno dei criteri di sommabilità che si usano normalmente.
Ad esempio per $alpha >0$ ed $alpha <0$ l'integrando si prolunga con continuità su $0$ (basta calcolare qualche limite per rendersene conto), quindi è certamente integrabile in $[0,1]$.
Se $alpha=0$, allora il denominatore è uno zero d'ordine $1$ rispetto ad $x$ mentre il denominatore, essendo un infinito dello stesso ordine di $ln x$ (infatti è $ln sin x=ln(x+"o"(x))=lnx +ln(1+("o"(x))/x)$ intorno a $0$), è un infinito d'ordine infinitamente grande rispetto ad $x$: pertanto c'è sicuramente sommabilità.
A te le conclusioni (anche se sei nato_pigro...
).
Notato che la funzione integranda è positiva intorno a $0$ (poichè infatti $0<= sinx ,x^alpha+x <= 1$ se $x$ è scelto abbastanza prossimo a $0$), possiamo affermare che la funzione $(ln sinx)/(ln(x^alpha +x))$ è integrabile (in senso improprio, of course) se e solo se essa è sommabile -o assolutamente integrabile che dir si voglia- in $[0,1]$; pertanto per risolvere l'esercizio occorre e basta applicare uno dei criteri di sommabilità che si usano normalmente.
Ad esempio per $alpha >0$ ed $alpha <0$ l'integrando si prolunga con continuità su $0$ (basta calcolare qualche limite per rendersene conto), quindi è certamente integrabile in $[0,1]$.
Se $alpha=0$, allora il denominatore è uno zero d'ordine $1$ rispetto ad $x$ mentre il denominatore, essendo un infinito dello stesso ordine di $ln x$ (infatti è $ln sin x=ln(x+"o"(x))=lnx +ln(1+("o"(x))/x)$ intorno a $0$), è un infinito d'ordine infinitamente grande rispetto ad $x$: pertanto c'è sicuramente sommabilità.
A te le conclusioni (anche se sei nato_pigro...
).
No, non leggi male... Sono io che mi sono lasciato trasportare da altre cose. E ho scritto una fregnaccia.
Mi scuso con nato_pigro e con gli altri che leggono il thread.
Ovviamente la funzione è continua in quei punti in cui $x^alpha +x!=1$ e positivo.
Quindi nel mezzo dell'intervallo $[0,1]$ ci sono altri "buchi" (diversi da $0$) attorno ai quali studiare la sommabilità. In particolare, se $alpha >0$ i "buchi" ci sono di sicuro (per via del teorema degli zeri applicato a $x^alpha +x-1$), mentre per gli $alpha <0$ si deve controllare bene.
Mi scuso con nato_pigro e con gli altri che leggono il thread.
Ovviamente la funzione è continua in quei punti in cui $x^alpha +x!=1$ e positivo.
Quindi nel mezzo dell'intervallo $[0,1]$ ci sono altri "buchi" (diversi da $0$) attorno ai quali studiare la sommabilità. In particolare, se $alpha >0$ i "buchi" ci sono di sicuro (per via del teorema degli zeri applicato a $x^alpha +x-1$), mentre per gli $alpha <0$ si deve controllare bene.
però scusate, il mio è un problema più a monte.
Io a lezione, definendo l'integrale di riemann, non l'integrale improprio (per cui è sufficiente che f sia sia riemann integrabile in un "intorno" (anche se proprio intorno non è)) ho sempre preso $f$ limitata e che avesse come dominio un intervallo n-dimensionale compatto, quindi chiuso, e quindi se siamo in $RR$ deve essere un intervallo chiuso.
Qua la mia $f$ non è nè definita nell'estremo dell'intervallo ($AA \alpha$) nè è limitata (per alcuni $\alpha$)
Io a lezione, definendo l'integrale di riemann, non l'integrale improprio (per cui è sufficiente che f sia sia riemann integrabile in un "intorno" (anche se proprio intorno non è)) ho sempre preso $f$ limitata e che avesse come dominio un intervallo n-dimensionale compatto, quindi chiuso, e quindi se siamo in $RR$ deve essere un intervallo chiuso.
Qua la mia $f$ non è nè definita nell'estremo dell'intervallo ($AA \alpha$) nè è limitata (per alcuni $\alpha$)
@Sergio:
Se $alpha<0$, $x^alpha+x=1/x^(|alpha|)+x>0$ per $x in (0,1]$. O no?[/quote]
Ti sei lasciato trasportare pure tu...
Qui il problema è controllare che $x^alpha+x!=1$ (cosa su cui avevo "amabilmente" glissato nel primo post).
@nato_pigro: l'integrale di Riemann è "naturalmente" definito per funzioni limitate sui compatti, ma è possibile estendere la definizione a funzioni non limitate su insiemi non compatti: ciò viene fatto introducendo la nozione di integrale improprio.
Nell'esercizio in questione, visto che l'integrando non è limitato ed è definito in un intervallo non compatto contenuto in $[0,1]$, l'integrale non può essere altro che un integrale improprio, quindi devi andare senz'altro a controllare la sommabilità per risolvere il problema.
Studiati un po' gli integrali impropri, poi se vuoi ne riparliamo.
"Sergio":
[quote="Gugo82"]mentre per gli $alpha <0$ si deve controllare bene.
Se $alpha<0$, $x^alpha+x=1/x^(|alpha|)+x>0$ per $x in (0,1]$. O no?[/quote]
Ti sei lasciato trasportare pure tu...
Qui il problema è controllare che $x^alpha+x!=1$ (cosa su cui avevo "amabilmente" glissato nel primo post).
@nato_pigro: l'integrale di Riemann è "naturalmente" definito per funzioni limitate sui compatti, ma è possibile estendere la definizione a funzioni non limitate su insiemi non compatti: ciò viene fatto introducendo la nozione di integrale improprio.
Nell'esercizio in questione, visto che l'integrando non è limitato ed è definito in un intervallo non compatto contenuto in $[0,1]$, l'integrale non può essere altro che un integrale improprio, quindi devi andare senz'altro a controllare la sommabilità per risolvere il problema.
Studiati un po' gli integrali impropri, poi se vuoi ne riparliamo.
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