Riemann dini nei complessi
vi propongo un interessante (e a mio avviso simpatico) esercizio
Date le due condizioni:
a) \(\displaystyle\sum\Re(a_i)\) (la serie delle parti reali) convergente ma non assolutamente
b) \(\displaystyle\sum\Im(a_i)\) (la serie delle parti immaginarie) convergente ma non assolutamente
Mostrare una serie che possa essere riordinata per convergere a qualsiasi numero complesso.
Dimostrare che la cosa non vale in generale mostrando un'altra serie che rispetti a) e b) ma che non può essere riordinata per convergere a qualsiasi numero complesso.
Date le due condizioni:
a) \(\displaystyle\sum\Re(a_i)\) (la serie delle parti reali) convergente ma non assolutamente
b) \(\displaystyle\sum\Im(a_i)\) (la serie delle parti immaginarie) convergente ma non assolutamente
Mostrare una serie che possa essere riordinata per convergere a qualsiasi numero complesso.
Dimostrare che la cosa non vale in generale mostrando un'altra serie che rispetti a) e b) ma che non può essere riordinata per convergere a qualsiasi numero complesso.
Risposte
Rispondo alla seconda che mi pare semplice - per la prima temo bisognerà "aggeggiare" un po' ...
bravo bravo 
Ma io direi:
considero due serie reali $a_n$ e $b_n$ convergenti ma non assolutamente.
Poi definisco $z_{2n}=a_n$ e $z_{2n+1}=i b_n$. Dunque permutando i pari gioco sulla parte reale e permutando i dispari sulla immaginaria.
considero due serie reali $a_n$ e $b_n$ convergenti ma non assolutamente.
Poi definisco $z_{2n}=a_n$ e $z_{2n+1}=i b_n$. Dunque permutando i pari gioco sulla parte reale e permutando i dispari sulla immaginaria.
ecco, esattamente
l'ho trovato carino.
l'ho trovato carino.
Bene, allora se ti va dimostra o confuta che:
$sum_n a_n$ converge implica $sum_n a_n^3$ converge, dove $a_n$ è una successione reale.
$sum_n a_n$ converge implica $sum_n a_n^3$ converge, dove $a_n$ è una successione reale.
ci provo, dimmi se è giusto
non sono sicuro di aver fatto tutte cose "lecite"...
"DajeForte":
Bene, allora se ti va dimostra o confuta che:
$sum_n a_n$ converge implica $sum_n a_n^3$ converge, dove $a_n$ è una successione reale.
Ciao .
Se prendo $ a_n=2 $ quando $ n-=0 (mod 3 ) $
$ a_n=-1 $ quando $ n-=1 ( mod 3 ) $
$ a_n=-1 $ quando $ n-=2 (mod 3 ) $
allora ....
non ho capito
la tua serie \(\displaystyle\sum a_n\) non converge. non sei nelle ipotesi.
la tua serie \(\displaystyle\sum a_n\) non converge. non sei nelle ipotesi.
suppongo di aver fatto qualche passaggio con troppa disinvoltura.
ho trovato questo articolo, pubblicato su american math montly del 1988.
http://www.jstor.org/pss/2322761
in pratica, le funzioni che conservano la convergenza sono tutte e sole quelle lineari.
ho trovato questo articolo, pubblicato su american math montly del 1988.
http://www.jstor.org/pss/2322761
in pratica, le funzioni che conservano la convergenza sono tutte e sole quelle lineari.
Se $a_n$ è positiva la proprietà è vera. Infatti se la serie converge
allora $a_n$ tende a zero per cui definitivamente
$a_n^3\le a_n$. Dunque si può applicare il teorema del confronto.
allora $a_n$ tende a zero per cui definitivamente
$a_n^3\le a_n$. Dunque si può applicare il teorema del confronto.
chiaro, se è convergente a termini positivi è assolutamente convergente.
però peccato, mi sembrava plausibile anche senza questo assunto.
però peccato, mi sembrava plausibile anche senza questo assunto.
Beh per quanto è stato detto finora non è chiaro che il risultato sia falso se $a_n$ non è positiva ....
Però mi pare proprio che lo sia
, anche se non è immediato scrivere un controesempio
(ci fosse stato un quadrato invece del cubo sarebbe stato molto più facile)
Mi pare che si possa ragionare come segue - controllate se la cosa torna ...
Prendiamo due successioni positive $b_n$ e $c_n$ in modo che $b_n\to0$, $c_n\to0$, $\sum_n b_n=+\infty$, $\sum_n b^3_n=+\infty$,$\sum_n c_n=+\infty$,$\sum_n c^3_n<+\infty$ - per esempio $b_n=1/n^{1/3}$ e $c_n=1/n$.
Prendiamo $d_{2_n+1}=b_n$ $d_{2n}=-c_n$. Allora $\sum_n d^+_n=\sum_n b_n=+\infty$ e $\sum_n d^-_n=\sum_n c_n=+\infty$.
Se non vado errato nelle ipotesi fatte è possibile riordinare $d_n$ in modo che la sua serie sia convergente (conta il fatto
che $b_n$ e $c_n$ tendono a zero); chiamiamo $a_n$ la riordinata di $d_n$ con tale proprietà.
Però se si passa ai cubi $\sum_n (a^3_n)^+ =\sum_n b^3_n$ (conta il fatto che per serie a i termini positivi la somma della riordinata
è la stessa di quella iniziale - finita o infinita) e analogamente $\sum_n (a_n ^3)^-$ $= \sum_n c^3_n$. Dunque
$\sum_n (a^3_n)^+ =+\infty$ mentre $\sum_n (a^3_n)^-$ $<+\infty$ da cui $\sum_n a^3_n$ diverge.
Però mi pare proprio che lo sia
, anche se non è immediato scrivere un controesempio (ci fosse stato un quadrato invece del cubo sarebbe stato molto più facile)
Mi pare che si possa ragionare come segue - controllate se la cosa torna ...
Prendiamo due successioni positive $b_n$ e $c_n$ in modo che $b_n\to0$, $c_n\to0$, $\sum_n b_n=+\infty$, $\sum_n b^3_n=+\infty$,$\sum_n c_n=+\infty$,$\sum_n c^3_n<+\infty$ - per esempio $b_n=1/n^{1/3}$ e $c_n=1/n$.
Prendiamo $d_{2_n+1}=b_n$ $d_{2n}=-c_n$. Allora $\sum_n d^+_n=\sum_n b_n=+\infty$ e $\sum_n d^-_n=\sum_n c_n=+\infty$.
Se non vado errato nelle ipotesi fatte è possibile riordinare $d_n$ in modo che la sua serie sia convergente (conta il fatto
che $b_n$ e $c_n$ tendono a zero); chiamiamo $a_n$ la riordinata di $d_n$ con tale proprietà.
Però se si passa ai cubi $\sum_n (a^3_n)^+ =\sum_n b^3_n$ (conta il fatto che per serie a i termini positivi la somma della riordinata
è la stessa di quella iniziale - finita o infinita) e analogamente $\sum_n (a_n ^3)^-$ $= \sum_n c^3_n$. Dunque
$\sum_n (a^3_n)^+ =+\infty$ mentre $\sum_n (a^3_n)^-$ $<+\infty$ da cui $\sum_n a^3_n$ diverge.
Si mi sembra corretto quello che scrivi anche se non ho dimostrato che esiste un riordinamento convergente ma a naso mi pare vero visto che parte positiva e negativa della serie sono infinitesime e divergenti.
Io avevo pensato ad una cosa del genere:
dove, come dice Alberto, manca qualcosa per dare convergenza a questa.
@Alberto: penso sia chiaro l'errore che facevi, quando dicevi che la serie non elevata DOMINAVA la serie dei cubi dovevi specificare cosa significasse la parola dominava e però per serie a segni alterni bisogna stare attenti.
Io avevo pensato ad una cosa del genere:
"DMNQ":
Se prendo $ a_n=2 $ quando $ n-=0 (mod 3 ) $
$ a_n=-1 $ quando $ n-=1 ( mod 3 ) $
$ a_n=-1 $ quando $ n-=2 (mod 3 ) $
allora ....
dove, come dice Alberto, manca qualcosa per dare convergenza a questa.
@Alberto: penso sia chiaro l'errore che facevi, quando dicevi che la serie non elevata DOMINAVA la serie dei cubi dovevi specificare cosa significasse la parola dominava e però per serie a segni alterni bisogna stare attenti.
sì, hai ragione, non ero sicuro. temevo appunto che quel passaggio non fosse corretto...
questo mi sembra notevole. non so se ci sarei arrivato, ma di sicuro non in così breve tempo.
complimenti.
"ViciousGoblin":
Mi pare che si possa ragionare come segue - controllate se la cosa torna ...
Prendiamo due successioni positive $b_n$ e $c_n$ in modo che $b_n\to0$, $c_n\to0$, $\sum_n b_n=+\infty$, $\sum_n b^3_n=+\infty$,$\sum_n c_n=+\infty$,$\sum_n c^3_n<+\infty$ - per esempio $b_n=1/n^{1/3}$ e $c_n=1/n$.
Prendiamo $d_{2_n+1}=b_n$ $d_{2n}=-c_n$. Allora $\sum_n d^+_n=\sum_n b_n=+\infty$ e $\sum_n d^-_n=\sum_n c_n=+\infty$.
Se non vado errato nelle ipotesi fatte è possibile riordinare $d_n$ in modo che la sua serie sia convergente (conta il fatto
che $b_n$ e $c_n$ tendono a zero); chiamiamo $a_n$ la riordinata di $d_n$ con tale proprietà.
Però se si passa ai cubi $\sum_n (a^3_n)^+ =\sum_n b^3_n$ (conta il fatto che per serie a i termini positivi la somma della riordinata
è la stessa di quella iniziale - finita o infinita) e analogamente $\sum_n (a_n ^3)^-$ $= \sum_n c^3_n$. Dunque
$\sum_n (a^3_n)^+ =+\infty$ mentre $\sum_n (a^3_n)^-$ $<+\infty$ da cui $\sum_n a^3_n$ diverge.
questo mi sembra notevole. non so se ci sarei arrivato, ma di sicuro non in così breve tempo.
complimenti.
"albertobosia":
non ho capito
la tua serie \(\displaystyle\sum a_n\) non converge. non sei nelle ipotesi.
Scusatemi , ho sbagliato . Volevo scrivere questo :
Se prendo $ a_n=\frac{2}{(n-2)^0.3} $ quando $ n-=0 (mod 3 ) $
$ a_n=-\frac{1}{(n)^0.3} $ quando $ n-=1 ( mod 3 ) $
$ a_n=-\frac{1}{(n-1)^0.3} $ quando $ n-=2 (mod 3 ) $
Credo che $ \sum a_n\ = 0$ e $ \sum (a_n)^3 = +infty $ ma non sono sicuro ....
Si. (EDIT: DMNQ bisognerebbe fare due conti per vedere se il tuo contro esempio rispecchia tutto)
Considerare $a_n=a_{n+1}=(-1)/(n^{1/3})$ e $a_{n+2}=2/(n^{1/3})$
Questa converge perchè le somme parziali valgono o 0 o $(-1)/(n^{1/3})$ o $(-2)/(n^{1/3})$
ma se le cubi viene la serie armonica.
Considerare $a_n=a_{n+1}=(-1)/(n^{1/3})$ e $a_{n+2}=2/(n^{1/3})$
Questa converge perchè le somme parziali valgono o 0 o $(-1)/(n^{1/3})$ o $(-2)/(n^{1/3})$
ma se le cubi viene la serie armonica.
Cerco di spiegare meglio l'idea. Siano $b_n=1/{n^{1/3}}$ e $c_n=1/n$. Voglio definire $a_n$ in modo che i suoi termini siano
$b_1,-c_1,-c_2,...,-c_{\sigma_1-1},b_2,-c_{\sigma_1},-c_{\sigma_1+1},...,-c_{\sigma_2-1},b_3,-c_{\sigma_2},-c_{\sigma_2+1},...,-c_{\sigma_3-1},b_4,-c_{\sigma_3},...$.
(per ogni $b_k$ uso un blocco di $c_j$ per "compensarlo"). Imitando la dim. di Riemann-Dini si riesce a scegliere $\sigma_k$
in modo che $\sum_n a_n=0$. Però passando ai cubi la parte negativa diventa convergente mentre quella positiva no e questo
"sbilancia" il tutto.
$b_1,-c_1,-c_2,...,-c_{\sigma_1-1},b_2,-c_{\sigma_1},-c_{\sigma_1+1},...,-c_{\sigma_2-1},b_3,-c_{\sigma_2},-c_{\sigma_2+1},...,-c_{\sigma_3-1},b_4,-c_{\sigma_3},...$.
(per ogni $b_k$ uso un blocco di $c_j$ per "compensarlo"). Imitando la dim. di Riemann-Dini si riesce a scegliere $\sigma_k$
in modo che $\sum_n a_n=0$. Però passando ai cubi la parte negativa diventa convergente mentre quella positiva no e questo
"sbilancia" il tutto.
Più semplicemente , ho proposto ( senza giustificazioni ! )
$ \sum a_n\ = (-\frac{1}{1^{1/3}}-\frac{1}{1^{1/3}}+\frac{2}{1^{1/3}})+(-\frac{1}{4^{1/3}}-\frac{1}{4^{1/3}}+\frac{2}{4^{1/3}})$
$+(-\frac{1}{7^{1/3}}-\frac{1}{7^{1/3}}+\frac{2}{7^{1/3}})+(-\frac{1}{10^{1/3}}-\frac{1}{10^{1/3}}+\frac{2}{10^{1/3}})+... = 0 $ .
$\sum (a_n)^3 = (-\frac{1}{1}-\frac{1}{1}+\frac{8}{1})+(-\frac{1}{4 }-\frac{1}{4}+\frac{8}{4})+ (-\frac{1}{7 }-\frac{1}{7}+\frac{8}{7} ) + (-\frac{1}{10 }-\frac{1}{10}+\frac{8}{10} )+ ...$
$ = \frac{6}{1}+ \frac{6}{4} +\frac{6}{7}+\frac{6}{10}+... = \sum_{p>=0} (\frac{6}{3p+1}) = +infty $
$ \sum a_n\ = (-\frac{1}{1^{1/3}}-\frac{1}{1^{1/3}}+\frac{2}{1^{1/3}})+(-\frac{1}{4^{1/3}}-\frac{1}{4^{1/3}}+\frac{2}{4^{1/3}})$
$+(-\frac{1}{7^{1/3}}-\frac{1}{7^{1/3}}+\frac{2}{7^{1/3}})+(-\frac{1}{10^{1/3}}-\frac{1}{10^{1/3}}+\frac{2}{10^{1/3}})+... = 0 $ .
$\sum (a_n)^3 = (-\frac{1}{1}-\frac{1}{1}+\frac{8}{1})+(-\frac{1}{4 }-\frac{1}{4}+\frac{8}{4})+ (-\frac{1}{7 }-\frac{1}{7}+\frac{8}{7} ) + (-\frac{1}{10 }-\frac{1}{10}+\frac{8}{10} )+ ...$
$ = \frac{6}{1}+ \frac{6}{4} +\frac{6}{7}+\frac{6}{10}+... = \sum_{p>=0} (\frac{6}{3p+1}) = +infty $
non so perchè ma mi da dei problemi di visualizzazione.
Riguardo quello che vedo, quando fai vedere che le somme sono 0 non è sufficiente.
Considera $a_n=(-1)^n$ allora come dici te $sum_n a_n = (1-1)+(1-1)+...+(1-1)=0$, ma non è vero la serie fa 0.
Insomma una inezia ma che ti volevo precisare, così, tanto per.
Riguardo quello che vedo, quando fai vedere che le somme sono 0 non è sufficiente.
Considera $a_n=(-1)^n$ allora come dici te $sum_n a_n = (1-1)+(1-1)+...+(1-1)=0$, ma non è vero la serie fa 0.
Insomma una inezia ma che ti volevo precisare, così, tanto per.
Complimenti a DMNQ.
Mi pare proprio che il suo esempio possa funzionare e dunque le cose sono molto più semplici di quanto pensassi.
Direi che 'idea di fondo è la stessa, cioè di intervallare una $b_n$ e "un po' " di $c_n$ in modo che si compensino, ma che passando ai cubi una prevalgano i $b_n^3$. Però l'esempio si può costruire in modo che per ogni $b_n$ si prendono esattamente DUE $c_n$ nel modo indicato da DMNQ. In effetti tutto si basa sull'osservare che $-1-1+2=0$ ma $(-1)^3+(-1)^3+(-2)^3=6>0$.
Riguardo "l'assenza di giustificazioni" mi pare proprio che, valutando le somme parziali, il tutto si possa dire in maniera rigorosa.
Mi pare proprio che il suo esempio possa funzionare e dunque le cose sono molto più semplici di quanto pensassi.
Direi che 'idea di fondo è la stessa, cioè di intervallare una $b_n$ e "un po' " di $c_n$ in modo che si compensino, ma che passando ai cubi una prevalgano i $b_n^3$. Però l'esempio si può costruire in modo che per ogni $b_n$ si prendono esattamente DUE $c_n$ nel modo indicato da DMNQ. In effetti tutto si basa sull'osservare che $-1-1+2=0$ ma $(-1)^3+(-1)^3+(-2)^3=6>0$.
Riguardo "l'assenza di giustificazioni" mi pare proprio che, valutando le somme parziali, il tutto si possa dire in maniera rigorosa.
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