Riduzione a sistema di equazioni del primo ordine
Buongiorno a tutti, sono alle prese con questo sistema di equazioni differenziali:
$ { ( y_1'=y_2-y_1 ),( y_2''+(y_1-y_2)-y_3'=0 ),( y_3=y_2 ^3*y_2' ):} $
Essendo due equazioni del primo ordine e una del secondo ordine, penso che si debba trovare il modo per scrivere 4 equazioni del primo ordine, esplicitando le varie derivate prime, in modo tale da dare tutto in pasto al comando ode.
Il problema è che non riesco proprio a scrivere le 4 equazioni, qualunque cosa cerco di scrivere me ne vengono fuori tre.
Ho provato scrivendo:
$ y_2'=y_4 $
Ma così non so più come usare la terza equazione ( $y_3=y_2 ^3*y_2'$).
Ringrazio in anticipo chiunque mi darà un qualche suggerimento!
$ { ( y_1'=y_2-y_1 ),( y_2''+(y_1-y_2)-y_3'=0 ),( y_3=y_2 ^3*y_2' ):} $
Essendo due equazioni del primo ordine e una del secondo ordine, penso che si debba trovare il modo per scrivere 4 equazioni del primo ordine, esplicitando le varie derivate prime, in modo tale da dare tutto in pasto al comando ode.
Il problema è che non riesco proprio a scrivere le 4 equazioni, qualunque cosa cerco di scrivere me ne vengono fuori tre.
Ho provato scrivendo:
$ y_2'=y_4 $
Ma così non so più come usare la terza equazione ( $y_3=y_2 ^3*y_2'$).
Ringrazio in anticipo chiunque mi darà un qualche suggerimento!
Risposte
La terza equazione ti consente di eliminare $y_3^\prime$ dalla seconda equazione: infatti $y_3^\prime = 3y_2^2\cdot (y_2^\prime)^2 + y_2^3\cdot y_2^(\prime \prime)$.
Vero è che così il problema diventa molto non lineare, però così facendo ti elimini quell'equazione algebrica quando introduci la variabile $y_4$.
Vero è che così il problema diventa molto non lineare, però così facendo ti elimini quell'equazione algebrica quando introduci la variabile $y_4$.
Grazie mille! Sei stato gentilissimo 
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Dunque, per prima cosa riscriverei, solo perché mi impiccio poi con gli indici, le varie funzioni: quindi battezziamo $y=y_1,\ z=y_2,\ w=y_3$. In tal modo il sistema diventa
$$y'=z-y,\qquad z''+(y-z)-w'=0,\qquad w=z^3\cdot z'$$
Usando la prima equazione e sostituendola nella seconda, posso riscrivere
$$z''-y'-w'=0\ \Rightarrow\ (z'-y-w)'=0\ \Rightarrow\ z'-y-w=c=cost.$$
e, sostituendo l'espressione della terza equazione
$$z'-y-z^3\cdot z'=c\ \Rightarrow\ z'(1-z^3)=c+y$$
Adesso però mi sono un po' incagliato: avevo pensato di fare un cambio di variabile dipendente e pensare la funzione $z=z(x)$ come $z=z(y)$: in tal modo si ha (indico con il punto la derivata rispetto a $y$)
$$z'=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\dot{z}\cdot y'=\dot{z}\cdot(y-z)$$
e quindi l'equazione risulta
$$\dot{z}(1-z^3)(y-z)=c+y$$
che è non lineare, del primo ordine, nell'incognita $z=z(y)$ (e quindi è come se fosse una ODE ordinaria)... solo che non riesco a capire come risolverla. Ci penserò un po'.
EDIT: ok, ho trovato una strada. E' un po' particolare, ma al momento mi pare l'unica. Riparto dall'equazione
$$z'(1-z^3)=c+y$$
Quello che faccio è scegliere come variabile indipendente $z$ e come dipendente $y$: quindi voglio risolvere una EDO nell'incognita $y=y(z)$. Per far saltare fuori la derivata di $y$, uso la regola della catena (derivazione di funzioni composte)
$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}=\dot{y}\cdot z'$$
dove con il punto intendo la derivata rispetto a $z$. Ora, ricordo che $y'=z-y$ e usando la precedente equazione ottengo
$$z-y=\dot{y}\cdot\frac{c+y}{1-z^3}$$
Riscrivo un po' meglio quest'ultima:
$$(z-y)(1-z^3)=\dot{y}(c+y)$$
e, per semplificarla un po', passo alla seguente incognita $u(z)=c+y(z)$, poiché, avendosi $\dot{u}=\dot{y}$ ($c$ è una costante), sostituendo ottengo
$$(z+c-u)(1-z^3)=u\dot{u}$$
Indicato con $a(z)=-(1-z^3),\ b(z)=-(z+c)\cdot a(z)$ l'equazione precedente assume la forma
$$u\dot{u}=a(z)\cdot u+b(z)$$
che risulta essere una EDO di Abel del secondo tipo (http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0125.pdf).
Scelta allora come nuova variabile
$$A(z)=\int a(z)\ dz=z-\frac{z^4}{4}$$
e indicando con una $d$ minuscola in alto la derivata rispetto a tale variabile, si ha
$$\dot{u}=\frac{du}{dz}=\frac{du}{dA}\cdot\frac{dA}{dz}=u^d\cdot a(z)$$
e questo porta all'equazione
$$au\dot{u}=au+b\ \Rightarrow\ u\dot{u}=u+\Phi(z)$$
dove
$$\Phi(z)=\frac{b(z)}{a(z)}=-(z+c)$$
e la relazione tra le variabili $A=z-z^4/4$.
A questo punto bisogna risolvere questa equazione (dovrebbe ricadere in una delle varie tipologie risolubili, da ciò che ho visto) ma ci devo pensare un po'. Ci lavoro domani.
$$y'=z-y,\qquad z''+(y-z)-w'=0,\qquad w=z^3\cdot z'$$
Usando la prima equazione e sostituendola nella seconda, posso riscrivere
$$z''-y'-w'=0\ \Rightarrow\ (z'-y-w)'=0\ \Rightarrow\ z'-y-w=c=cost.$$
e, sostituendo l'espressione della terza equazione
$$z'-y-z^3\cdot z'=c\ \Rightarrow\ z'(1-z^3)=c+y$$
Adesso però mi sono un po' incagliato: avevo pensato di fare un cambio di variabile dipendente e pensare la funzione $z=z(x)$ come $z=z(y)$: in tal modo si ha (indico con il punto la derivata rispetto a $y$)
$$z'=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\dot{z}\cdot y'=\dot{z}\cdot(y-z)$$
e quindi l'equazione risulta
$$\dot{z}(1-z^3)(y-z)=c+y$$
che è non lineare, del primo ordine, nell'incognita $z=z(y)$ (e quindi è come se fosse una ODE ordinaria)... solo che non riesco a capire come risolverla. Ci penserò un po'.
EDIT: ok, ho trovato una strada. E' un po' particolare, ma al momento mi pare l'unica. Riparto dall'equazione
$$z'(1-z^3)=c+y$$
Quello che faccio è scegliere come variabile indipendente $z$ e come dipendente $y$: quindi voglio risolvere una EDO nell'incognita $y=y(z)$. Per far saltare fuori la derivata di $y$, uso la regola della catena (derivazione di funzioni composte)
$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}=\dot{y}\cdot z'$$
dove con il punto intendo la derivata rispetto a $z$. Ora, ricordo che $y'=z-y$ e usando la precedente equazione ottengo
$$z-y=\dot{y}\cdot\frac{c+y}{1-z^3}$$
Riscrivo un po' meglio quest'ultima:
$$(z-y)(1-z^3)=\dot{y}(c+y)$$
e, per semplificarla un po', passo alla seguente incognita $u(z)=c+y(z)$, poiché, avendosi $\dot{u}=\dot{y}$ ($c$ è una costante), sostituendo ottengo
$$(z+c-u)(1-z^3)=u\dot{u}$$
Indicato con $a(z)=-(1-z^3),\ b(z)=-(z+c)\cdot a(z)$ l'equazione precedente assume la forma
$$u\dot{u}=a(z)\cdot u+b(z)$$
che risulta essere una EDO di Abel del secondo tipo (http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0125.pdf).
Scelta allora come nuova variabile
$$A(z)=\int a(z)\ dz=z-\frac{z^4}{4}$$
e indicando con una $d$ minuscola in alto la derivata rispetto a tale variabile, si ha
$$\dot{u}=\frac{du}{dz}=\frac{du}{dA}\cdot\frac{dA}{dz}=u^d\cdot a(z)$$
e questo porta all'equazione
$$au\dot{u}=au+b\ \Rightarrow\ u\dot{u}=u+\Phi(z)$$
dove
$$\Phi(z)=\frac{b(z)}{a(z)}=-(z+c)$$
e la relazione tra le variabili $A=z-z^4/4$.
A questo punto bisogna risolvere questa equazione (dovrebbe ricadere in una delle varie tipologie risolubili, da ciò che ho visto) ma ci devo pensare un po'. Ci lavoro domani.
Ciao ciampax, ti ringrazio per l'interesse. Ho letto la tua risposta e sembra che tu stia cercando di risolvere il tutto in modo analitico. Io invece cerco una soluzione numerica e in particolare sto usando Matlab e in particolare il comando bvp4c che permette di risolvere problemi al limite e condizioni al contorno del terzo tipo. Sapresti aiutarmi in questo tipo di soluzione? O magari suggerirmi un altro modo per risolvere che non sia bvp4c?
PS
ho provato a sfruttare il suggerimento di gugo82 ma il risolutore continua a restituirmi una soluzione priva di significato fisico.
PS
ho provato a sfruttare il suggerimento di gugo82 ma il risolutore continua a restituirmi una soluzione priva di significato fisico.
Non sono molto avvezzo all'uso di matlab. A questo punto, però, ti consiglierei di riscrivere il problema nella prima forma che ti ho presentato, quello con la riduzione di grado della seconda equazione. E magari, provare a risolvere il solo sistema formato dalla prima e seconda, visto che la terza equazione sparisce.
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