Riduzione a forma normale
[strike][/strike]Buona sera a tutti. Studiando meccanica analitica si iniziano a trattare problemi come la ricerca di soluzioni per equazioni differenziali e sistemi di eq. differenziali.
Per l' oscillatore armonico ad esempio si ha il sistema ${x'=v,x''=v'=-omega^2*x}$. Tali componenti si possono vedere attraverso "un'ottica vettoriale" prendendo come vettore $vec(x)'=((x'=v),(x''=-omega^2x))=> vec(x)=((x),(v))$. Questi due vettori ci consentono un'interpretazione dinamica del sistema attraverso la definizione del flusso di fase.
Con tale rappresentazione si può dimostrare che lo studio della soluzione del sistema è rimandabile alla ricerca degli autovalori e dei relativi autovettori che permettono di diagonalizzare la matrice per avere una base rispetto a cui $vec(x')=A*vec(x)$ assuma la sua forma più semplice: $A*vec(x)=Lambda*vec(x)$ con $Lambda$ matrice diagonale.
Dopo aver trovato i due autovalori dall'equazione $det(lambdaI-A)=det[( ( lambda , -1 ),( omega^2 , lambda ) )] $ il cui polinomio caratteristico ci restituisce:$lambda_(1,2)=(iomega,-iomega)$,ne trovo i corrispettivi autovettori: $vec(v_1)=e^(-i*omega*t)((i/omega),(1)); vec(v_2)=e^(i*omega*t)((-i/omega),(1))$ e si nota che $vec(v_2)=vec(v_1)^(ox)$ (cioè uno è il complesso coniugato dell'altro; a questo punto ho: $Lambda=( ( -i*omega, 0 ),( 0 , i*omega) )$ e $V=(vec(v_1),vec(v_2))$.
Poichè è più appropriato avere soluzioni reali posso combinare gli autovettori complessi affinché mi si restituiscano vettori reali (malgrado a questo scopo si rinunci ad avere matrice associata alla trasformazione in forma diagonale, dato che ne cambiamo la base su cui agisce la matrice A) . I vettori complessi ( in tal caso i due autovettori) si possono scindere nella corrispettiva parte reale e immaginaria: $vec(v_1)=vec(u_1)+i*vec(w_1), vec(v_2)=vec(u_1)-i*vec(w_1)$ e dalla combinazione lineare $lambda_1/2vec(v_1)+lambda_2/2vec(v_2)=A*vec(u)=-omega*vec(w_1)$ e $lamda_1vec(v_1)-lambda_2vec(v_2)=A*vec(w_1)=omega*vec(u_1)$. A questo punto possiamo notare che se identifichiamo con$M=(vec(u),vec(w))$ allora $MAM^(-1)=A'=( (0 , omega) , (-omega , 0 ) )$ è la matrice simile ad $A$ (ma non diagonale!) associata alla trasformazione dopo aver scelto come base quella dei vettori colonna di $M$.
E' ora che non capisco perchè si esegua il cambio di variabili: $((X=sqrt(omega)x) , (Y=v/sqrt(omega))) => vec(x)=((x),(x'=v))=((1/sqrt(omega),0),(0,sqrt(omega)))((X),(Y))$ che sulle dispense del mio prof viene detto " riduzione a forma normale". Qualcuno potrebbe spiegarmi a quale metodo algebrico si fa riferimento?
Grazie
Per l' oscillatore armonico ad esempio si ha il sistema ${x'=v,x''=v'=-omega^2*x}$. Tali componenti si possono vedere attraverso "un'ottica vettoriale" prendendo come vettore $vec(x)'=((x'=v),(x''=-omega^2x))=> vec(x)=((x),(v))$. Questi due vettori ci consentono un'interpretazione dinamica del sistema attraverso la definizione del flusso di fase.
Con tale rappresentazione si può dimostrare che lo studio della soluzione del sistema è rimandabile alla ricerca degli autovalori e dei relativi autovettori che permettono di diagonalizzare la matrice per avere una base rispetto a cui $vec(x')=A*vec(x)$ assuma la sua forma più semplice: $A*vec(x)=Lambda*vec(x)$ con $Lambda$ matrice diagonale.
Dopo aver trovato i due autovalori dall'equazione $det(lambdaI-A)=det[( ( lambda , -1 ),( omega^2 , lambda ) )] $ il cui polinomio caratteristico ci restituisce:$lambda_(1,2)=(iomega,-iomega)$,ne trovo i corrispettivi autovettori: $vec(v_1)=e^(-i*omega*t)((i/omega),(1)); vec(v_2)=e^(i*omega*t)((-i/omega),(1))$ e si nota che $vec(v_2)=vec(v_1)^(ox)$ (cioè uno è il complesso coniugato dell'altro; a questo punto ho: $Lambda=( ( -i*omega, 0 ),( 0 , i*omega) )$ e $V=(vec(v_1),vec(v_2))$.
Poichè è più appropriato avere soluzioni reali posso combinare gli autovettori complessi affinché mi si restituiscano vettori reali (malgrado a questo scopo si rinunci ad avere matrice associata alla trasformazione in forma diagonale, dato che ne cambiamo la base su cui agisce la matrice A) . I vettori complessi ( in tal caso i due autovettori) si possono scindere nella corrispettiva parte reale e immaginaria: $vec(v_1)=vec(u_1)+i*vec(w_1), vec(v_2)=vec(u_1)-i*vec(w_1)$ e dalla combinazione lineare $lambda_1/2vec(v_1)+lambda_2/2vec(v_2)=A*vec(u)=-omega*vec(w_1)$ e $lamda_1vec(v_1)-lambda_2vec(v_2)=A*vec(w_1)=omega*vec(u_1)$. A questo punto possiamo notare che se identifichiamo con$M=(vec(u),vec(w))$ allora $MAM^(-1)=A'=( (0 , omega) , (-omega , 0 ) )$ è la matrice simile ad $A$ (ma non diagonale!) associata alla trasformazione dopo aver scelto come base quella dei vettori colonna di $M$.
E' ora che non capisco perchè si esegua il cambio di variabili: $((X=sqrt(omega)x) , (Y=v/sqrt(omega))) => vec(x)=((x),(x'=v))=((1/sqrt(omega),0),(0,sqrt(omega)))((X),(Y))$ che sulle dispense del mio prof viene detto " riduzione a forma normale". Qualcuno potrebbe spiegarmi a quale metodo algebrico si fa riferimento?
Grazie
Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Ok l'unica cosa che mi sembra lecita pensare è che siccome il flusso di fase è una matrice di rotazione con determinante unitario, qualsiasi altra base che sceglieremo dovrà avere le stesse caratteristiche. Ma la base $M=(vec(u),vec(v))=((0,-1/omega),(1,0))$ è evidentemente a determinante non unitario. Pensiamo allora di volerne determinare una combinazione che non modifichi la direzione ma li scali solo di un qualche fattore: $vec(u')=1/sqrt(omega)vec(u)+0vec(v)=((0),(1/sqrt(omega)))$ e $vec(v')=0vec(u)-sqrt(omega)^3vec(v)=((sqrt(omega)),(0))$. Questa nuova base è a determinante unitario ed inoltre assume rispetto alla base canonica le coordinate: $vec(v')=sqrt(omega)((1),(0)); vec(u')=1/sqrt(omega)((0),(1))$ cioè $A*vec(x)=A ( ( 1/sqrt(omega) , 0 ),( 0 , sqrt(omega) ) ) ((X),(Y))$ inoltre continua a valere che $( ( 1/sqrt(omega) , 0 ),( 0 , sqrt(omega) ) ) ( ( 0 , omega ) ,( -omega , 0 ) ) = ( ( 0 , 1) , (-omega^2 , 0 ) ) ( ( 1/sqrt(omega) , 0 ),( 0 , sqrt(omega) ) )$.
Potreste darmi qualche conferma?? Sono abbastanza ansioso di capire.... Grazie
Potreste darmi qualche conferma?? Sono abbastanza ansioso di capire.... Grazie
Difficile seguire questo flusso di coscienza, non si capisce neanche quale sia la domanda. Comunque il giusto contesto è quello della meccanica Hamiltoniana, è lì che c'è il gergo delle "forme normali".
ho cercato di tradurre il contesto in parole povere; evidentemente non ci sono riuscito bene, mi dispiace. Ad ogni modo la mia domanda riguarda il motivo per cui si applica quel cambio di coordinate che ho descritto alla fine del mio primo post. Speravo in qualche indizio più preciso. Grazie comunque per l'aiuto dissonance
Eh ma ci stiamo avvicinando. Questa roba mi sembra si chiami "forma normale di Birkhoff". Vedi qua:
http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/pedagogical.pdf
a pagina 2 mi pare che compaia proprio il cambio di variabile che dici tu. Ora non ti sto dicendo di leggerti quella dispensa, che è piuttosto difficile, ma giusto per avere una prima idea e per sapere meglio cosa cercare secondo me è un inizio.
http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/pedagogical.pdf
a pagina 2 mi pare che compaia proprio il cambio di variabile che dici tu. Ora non ti sto dicendo di leggerti quella dispensa, che è piuttosto difficile, ma giusto per avere una prima idea e per sapere meglio cosa cercare secondo me è un inizio.
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