Ridotta n-esime di una serie
Salve a tutti...sono uno studente di primo e a febbraio avrò l'esame di analisi...c'è una cosa ke proprio non ho capito...come si ricava la ridotta n-esima di una serie? perchè la ridotta n-esima della serie geometrica è 1-q^n+1/(1-q)? Da dove si ricava? E come si ottengono le altre ridotte n-esime di altre serie? Risp x favore ke è un dubbio che ho e vorrei risolverlo perchè proprio non riesco a capirlo 
Risposte
Per la serie geometrica, $s_n = 1+q+...+q^n$.
Se $q=1$ allora $s_n = n$.
Se $q\ne 1$, allora hai che
$q s_n = q + q^2 + ... + q^n + q^{n+1} = s_n-1+q^{n+1}$,
e dall'uguaglianza $q s_n = s_n-1+q^{n+1}$ ricavi l'espressione da te scritta.
In generale non è possibile calcolare, in forma chiusa, la ridotta n-esima di una serie.
Se $q=1$ allora $s_n = n$.
Se $q\ne 1$, allora hai che
$q s_n = q + q^2 + ... + q^n + q^{n+1} = s_n-1+q^{n+1}$,
e dall'uguaglianza $q s_n = s_n-1+q^{n+1}$ ricavi l'espressione da te scritta.
In generale non è possibile calcolare, in forma chiusa, la ridotta n-esima di una serie.
scusa come faccio a ricavare da qsn=sn-1+qn+1 la formula 1-q^(n+1)/(1-q) ?
"CG23":
scusa come faccio a ricavare da [tex]$qs_n=s_n-1+q^{n+1}$[/tex] la formula [tex]$s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$[/tex]?
Provato ad esplicitare rispetto a [tex]$s_n$[/tex]?
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non ho capito perchè
$q + q^2 + ... + q^n + q^{n+1} = s_n-1+q^{n+1}$
qualcuno per favore me lo può spiegare?
$q + q^2 + ... + q^n + q^{n+1} = s_n-1+q^{n+1}$
qualcuno per favore me lo può spiegare?
"CG23":
non ho capito perchè
$q + q^2 + ... + q^n + q^{n+1} = s_n-1+q^{n+1}$
qualcuno per favore me lo può spiegare?
Provato a scrivere esplicitamente [tex]$s_n$[/tex] nell'uguaglianza?
O a portare $-1$ a primo membro?
Insomma, basta davvero poco...
Un altro metodo, non dissimile dal precedente ma un po' meno forzato, è il seguente: scritto:
[tex]$s_n=1+q+q^2+\ldots +q^n$[/tex]
[tex]$qs_n=\phantom{1+} q+q^2+\ldots +q^n+q^{n+1}$[/tex]
sottraendo m.a.m. la seconda uguaglianza dalla prima si trova immediatamente:
[tex]$(1-q)s_n=1-q^{n+1}$[/tex]
e da ciò segue:
[tex]$s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$[/tex].
Un altra strada consiste nel ricordare la scomposizione del binomio notevole [tex]$p^{n+1}-q^{n+1}$[/tex] (una generalizzazione delle formule di scomposizione di [tex]$p^2-q^2$[/tex] o [tex]$p^3-q^3$[/tex]):
[tex]$p^{n+1}-q^{n+1}=(p-q)\sum_{k=0}^n p^{n-k}q^k$[/tex]
e porvi [tex]$p=1$[/tex]: in tal modo si trova:
[tex]$1-q^{n+1}=(1-q)\sum_{k=0}^nq^k=(1-q)s_n$[/tex]
e di nuovo:
[tex]$s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$[/tex].
Come dicono in Burundi, Tutte le strade portano a Roma.
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