Ricorsione di polinomi

[ale.b14]

Allora... Vi spiego il mio problema:
cercando una formula chiusa per la derivata n-esima della funzione $e^{-x^2}$ ho dimostrato per induzione che la derivata n-esima cercata è del tipo

$e^{-x^2}P_n(x)$

dove $P_n(x)$ è l'n-esimo polinomio della seguente successione:

$P_0(x)=1$
$P_{n+1}(x)=P'_n(x)-2xP_n(x)$

A qualcuno di voi viene in mente una formula chiusa per $P_n(x)$ (o anche un modo per maggiorarlo in [0,x]).
Forse è già chiaro, ma mi serve una stima per il resto del polinomio di taylor di $e^{-x^2}$

[gugo82]

Ma guarda, forse non c'è bisogno di fare tutto questo macello.
La serie di Taylor di \(\exp(-x^2)\) si scrive esplicitamente ed è a segni alterni, ergo puoi applicare la stima del resto che viene fuori dal criterio di Leibniz.
Tale stima asserisce che il resto \(n\)-esimo della serie \(\sum (-1)^n a_n\) è minore del primo termine trascurato in valore assoluto, perciò il resto \(n\)-esimo della tua serie di Taylor è sicuramente minore di qualcosa di molto semplice da gestire e calcolare.

[ale.b14]

mmm... mi sa che mi ero complicato un attimo la vita! in ogni caso grazie!!