Riconoscere un' ellisse
Salve. Sono un po' arrugginito riguardo a curve e solidi, infatti mi è sorto un dubbio molto banale:
Come faccio a riconoscere che $2x^2 +4xy+3y^2<=6$ rappresenta un' ellisse?
Ho completato il quadrato come: $(sqrt(1/3)x + sqrt(3)/3 y)^2 + 1/6 y^2 <=1$ ma ancora non mi riconduco all'equazione dell'ellisse: $(x-x_c)^2/a^2 + (y-y_c)^2/b^2=1$.
Come fare?
Grazie!!
P.s: Già che ci sono aggiungo altra carne al fuoco... Posso dire che l'insieme è chiuso in quanto il complementare a quest'ultimo contiene tutti i suoi punti ed: è sempre possibile creare un disco di raggio finito che contenga solo punti dell'insieme ed è quindi aperto? Ovvero: complementare aperto $\to$ insieme di partenza chiuso.
E posso dire che è limitato in quando dominio e codominio sono limitati in quanto ellisse?
Grazie ancora!
Come faccio a riconoscere che $2x^2 +4xy+3y^2<=6$ rappresenta un' ellisse?
Ho completato il quadrato come: $(sqrt(1/3)x + sqrt(3)/3 y)^2 + 1/6 y^2 <=1$ ma ancora non mi riconduco all'equazione dell'ellisse: $(x-x_c)^2/a^2 + (y-y_c)^2/b^2=1$.
Come fare?
Grazie!!
P.s: Già che ci sono aggiungo altra carne al fuoco... Posso dire che l'insieme è chiuso in quanto il complementare a quest'ultimo contiene tutti i suoi punti ed: è sempre possibile creare un disco di raggio finito che contenga solo punti dell'insieme ed è quindi aperto? Ovvero: complementare aperto $\to$ insieme di partenza chiuso.
E posso dire che è limitato in quando dominio e codominio sono limitati in quanto ellisse?
Grazie ancora!
Risposte
Però quella è la formula per l'equazione di un ellisse con i semiassi paralleli agli assi cartesiani ...
Intanto ti ringrazio.
Immaginavo la formula fosse il problema, tuttavia nel libro del mio professore vedo scritta in tutte le salse soltanto questa! Quindi come potrei riconoscere che si tratta di un'ellisse?
E per quanto riguarda il post scriptum che ho lasciato a fine messaggio?
Immaginavo la formula fosse il problema, tuttavia nel libro del mio professore vedo scritta in tutte le salse soltanto questa! Quindi come potrei riconoscere che si tratta di un'ellisse?
E per quanto riguarda il post scriptum che ho lasciato a fine messaggio?
Disegnandola! 
Battute a parte, non saprei ...
Battute a parte, non saprei ...
Ciao IRninG,
Beh, un'equazione del tipo $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $ posto $\Delta := b^2 - 4ac $ rappresenta:
i) Un'ellisse se $\Delta < 0 $;
ii) Una parabola se $\Delta = 0 $;
iii) Un'iperbole se $ Delta > 0 $.
Nel caso in esame $a = 2 $, $b = 4 $, $c = 3 $, $d = e = 0 $ e $f = - 6 $ per cui si tratta di un'ellisse ruotata.
"lRninG":
Come faccio a riconoscere che $2x^2+4xy+3y^2 <= 6 $ rappresenta un'ellisse?
Beh, un'equazione del tipo $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $ posto $\Delta := b^2 - 4ac $ rappresenta:
i) Un'ellisse se $\Delta < 0 $;
ii) Una parabola se $\Delta = 0 $;
iii) Un'iperbole se $ Delta > 0 $.
Nel caso in esame $a = 2 $, $b = 4 $, $c = 3 $, $d = e = 0 $ e $f = - 6 $ per cui si tratta di un'ellisse ruotata.
Grazie a entrambi!
E per centro e assi come posso ricavarli?
E per centro e assi come posso ricavarli?
"lRninG":
E per centro e assi come posso ricavarli?
Beh, in generale per una conica $ g(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $ le coordinate del centro $C $ sono date dal sistema seguente:
$\{(g'_x (x, y) = 0),(g'_y(x, y) = 0):} \iff {(2ax + by + d = 0),(2cy+bx+e = 0):} $
che nel caso in esame diventa
$\{(4x + 4y + 0 = 0),(6y+4x+0 = 0):} \iff \{(y = - x),(3y+2x = 0):} \implies C-= O(0, 0)$
il che per la verità era prevedibile sin dall'inizio, trattandosi di un'ellisse solo ruotata e non traslata ($ d = e = 0 $).
Grazie tutto chiaro, gentilissimo! Potresti anche suggerirmi come trovare assi o semiassi? Non trovo nulla se non per l'ellisse con semiassi paralleli agli assi cartesiani..
Dal punto di vista dell'algebra lineare invece...
Troviamo la matrice dei coefficienti $ A=( ( 2 , 2 , 0 ),( 2 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , -6 ) ) $
$det(A)=-12!=0$ quindi la conica non è degenere.
I determinanti dei minori di A sono (partendo dal minore in alto a sinistra) positivo, positivo e negativo, quindi sappiamo che ci sono due autovalori positivi e uno negativo, per cui è un'ellisse.
Risolvendo il sistema omogeneo dato dalle sole prime due righe della matrice A, otteniamo il centro (che è l'origine, come si vede anche dal post di pilloeffe).
Diagonalizzando la matrice ridotta dei termini quadratici $B=( ( 2 , 2 ),( 2 , 3 ) ) $ troviamo la base di autovettori: $ {( ( sqrt(17)+1 ),( -4 ) ) , ( ( sqrt(17)-1 ),( 4 ) )} $ che rappresentano le direzioni perpendicolari degli assi passanti per l'origine.
Per cui le equazioni degli assi sono $y=-4/(sqrt(17)+1)x$ e $y=4/(sqrt(17)-1)x$
Troviamo la matrice dei coefficienti $ A=( ( 2 , 2 , 0 ),( 2 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , -6 ) ) $
$det(A)=-12!=0$ quindi la conica non è degenere.
I determinanti dei minori di A sono (partendo dal minore in alto a sinistra) positivo, positivo e negativo, quindi sappiamo che ci sono due autovalori positivi e uno negativo, per cui è un'ellisse.
Risolvendo il sistema omogeneo dato dalle sole prime due righe della matrice A, otteniamo il centro (che è l'origine, come si vede anche dal post di pilloeffe).
Diagonalizzando la matrice ridotta dei termini quadratici $B=( ( 2 , 2 ),( 2 , 3 ) ) $ troviamo la base di autovettori: $ {( ( sqrt(17)+1 ),( -4 ) ) , ( ( sqrt(17)-1 ),( 4 ) )} $ che rappresentano le direzioni perpendicolari degli assi passanti per l'origine.
Per cui le equazioni degli assi sono $y=-4/(sqrt(17)+1)x$ e $y=4/(sqrt(17)-1)x$
"pilloeffe":
Ciao IRninG,
[quote="lRninG"]Come faccio a riconoscere che $2x^2+4xy+3y^2 <= 6 $ rappresenta un'ellisse?
Beh, un'equazione del tipo $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $ posto $\Delta := b^2 - 4ac $ rappresenta:
i) Un'ellisse se $\Delta < 0 $;
ii) Una parabola se $\Delta = 0 $;
iii) Un'iperbole se $ Delta > 0 $.[/quote]
Non basta.
Ad esempio, $xy=0$ è una coppia di rette incidenti, non un’ellisse; $x^2 - 2xy + y^2 = 0$ è una coppia di rette coincidenti, non una parabola; $x^2 - y^2 = 0$ è una coppia di rette incidenti, non un’iperbole.
Grazie a tutti! Interessante anche l'approccio con l'algebra lineare...
Per gugo82,
come si possono correggere allora le relazioni?
Per gugo82,
come si possono correggere allora le relazioni?
Quello della classificazione delle coniche è un argomento standard dei corsi di Geometria ed Algebra Lineare del primo anno.
Hai seguito un corso del genere?
Hai seguito un corso del genere?
Certo. Ma l'unico approccio è quello dell'algebra lineare?
Mi interessava sapere se potevo passare anche dalle equazioni come suggeriva pilloeffe.
Mi interessava sapere se potevo passare anche dalle equazioni come suggeriva pilloeffe.
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