Riconoscere tipologia serie
Salve ragazzi, ho qualche difficoltà nel riconoscere la tipologia questa serie. Potete aiutarmi?
Nella dispensa della prof ,c'è questa lista che ho trovato utile in altri esercizi.
Grazie in anticipo!
Nella dispensa della prof ,c'è questa lista che ho trovato utile in altri esercizi.
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao ciccio.95,
Beh, il dominio della funzione proposta $f(x) = frac{1}{(1 + 3x^2)^3} $ è piuttosto semplice: $ D = \RR $
Per lo sviluppo in serie userei lo sviluppo binomiale:
$ (1 + t)^{\alpha} = sum_{n = 0}^{+\infty} ((\alpha),(n)) t^n \quad $ per $ |t| < 1 $
Nel tuo caso $t := 3x^2 $ e $\alpha = - 3 $
Beh, il dominio della funzione proposta $f(x) = frac{1}{(1 + 3x^2)^3} $ è piuttosto semplice: $ D = \RR $
Per lo sviluppo in serie userei lo sviluppo binomiale:
$ (1 + t)^{\alpha} = sum_{n = 0}^{+\infty} ((\alpha),(n)) t^n \quad $ per $ |t| < 1 $
Nel tuo caso $t := 3x^2 $ e $\alpha = - 3 $
"pilloeffe":
Ciao ciccio.95,
Beh, il dominio della funzione proposta $f(x) = frac{1}{(1 + 3x^2)^3} $ è piuttosto semplice: $ D = \RR $
Per lo sviluppo in serie userei lo sviluppo binomiale:
$ (1 + t)^{\alpha} = sum_{n = 0}^{+\infty} ((\alpha),(n)) t^n \quad $ per $ |t| < 1 $
Nel tuo caso $t := 3x^2 $ e $\alpha = - 3 $
E invece dovendo ricondurla ad una delle serie presenti nella lista che ho messo nello spoiler?
Si potrebbe considerare che si ha:
$ d/dt [frac{1}{(1 + t)^2}] = - frac{2}{(1 + t)^3} \implies frac{1}{(1 + t)^3} = -1/2 d/dt [frac{1}{(1 + t)^2}] $
Quindi si ha:
$ frac{1}{(1 + t)^3} = -1/2 d/dt [frac{1}{(1 + t)^2}] = -1/2 d/dt sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 1) t^n = -1/2 sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n n(n + 1) t^{n - 1} $
Posto $ t := 3x^2 $ in definitiva si ha:
$ f(x) = frac{1}{(1 + 3x^2)^3} = -1/2 sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n n(n + 1) 3^{n - 1} x^{2n - 2} \qquad $ per $\quad |3x^2| < 1 \iff |x| < 1/sqrt{3} $
$ d/dt [frac{1}{(1 + t)^2}] = - frac{2}{(1 + t)^3} \implies frac{1}{(1 + t)^3} = -1/2 d/dt [frac{1}{(1 + t)^2}] $
Quindi si ha:
$ frac{1}{(1 + t)^3} = -1/2 d/dt [frac{1}{(1 + t)^2}] = -1/2 d/dt sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 1) t^n = -1/2 sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n n(n + 1) t^{n - 1} $
Posto $ t := 3x^2 $ in definitiva si ha:
$ f(x) = frac{1}{(1 + 3x^2)^3} = -1/2 sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n n(n + 1) 3^{n - 1} x^{2n - 2} \qquad $ per $\quad |3x^2| < 1 \iff |x| < 1/sqrt{3} $
"pilloeffe":
Si potrebbe considerare che si ha:
$ d/dt [frac{1}{(1 + t)^2}] = - frac{2}{(1 + t)^3} \implies frac{1}{(1 + t)^3} = -1/2 d/dt [frac{1}{(1 + t)^2}] $
Quindi si ha:
$ frac{1}{(1 + t)^3} = -1/2 d/dt [frac{1}{(1 + t)^2}] = -1/2 d/dt sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n + 1) t^n = -1/2 sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n n(n + 1) t^{n - 1} $
Posto $ t := 3x^2 $ in definitiva si ha:
$ f(x) = frac{1}{(1 + 3x^2)^3} = -1/2 sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n n(n + 1) 3^{n - 1} x^{2n - 2} \qquad $ per $\quad |3x^2| < 1 \iff |x| < 1/sqrt{3} $
Ok grazie mille per l'aiuto,l'ho impostata cosi:
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