Richieste sul polinomio McLaurin
Salve,
sto svolgendo un esercizio riguardante lo sviluppo di McLaurin di una funzione, ma non ho capito come procedere.
Per vostra comodità di fruizione allego l'esercizio sotto forma di immagine.
Non ho capito innanzitutto come procedere nel punto $a)$: basta derivare e sostituire lo $0$ al posto della $x$ oppure c'è un qualche procedimento più sottile che mi è oscuro? Nel caso bastasse derivare e sostituire il valore $0$ nella $x$, come si dovrebbe procedere arrivati a:
$f(0) = 0 + 0 + o(0) = 0$
$f'(x) = -1/2 + (10/3)*x + o(x)$ (la derivata di $o(x^2)$ è $o(x)$?)
$f'(0) = -1/2 + o(0)$
che significa $o(0)$? Come si concerta il $-1/2$ con l' $o(0)$? Infatti $-1/2$ in un intorno di $0$ dovrebbe tendere meno velocemente a $0$ dello stessa funzione costante $0$.
Non riesco a uscire da questa situazione.
Nel punto $b)$ se sostituisco a $f(x)$ il suo valore, ottengo il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (o(x^2))/(x^2 - x^3) $
come devo gestirlo? Fa $0$ perchè $o(x^2)$ ingloba gli altri infinitesimi al denominatore?
Non vi chiedo di risolvermi l'esercizio, ma solo di darmi qualche dritta per la risoluzione di questa tipologia di esercizi.
Ad ogni modo, Vi ringrazio per la disponibilità
sto svolgendo un esercizio riguardante lo sviluppo di McLaurin di una funzione, ma non ho capito come procedere.
Per vostra comodità di fruizione allego l'esercizio sotto forma di immagine.
Non ho capito innanzitutto come procedere nel punto $a)$: basta derivare e sostituire lo $0$ al posto della $x$ oppure c'è un qualche procedimento più sottile che mi è oscuro? Nel caso bastasse derivare e sostituire il valore $0$ nella $x$, come si dovrebbe procedere arrivati a:
$f(0) = 0 + 0 + o(0) = 0$
$f'(x) = -1/2 + (10/3)*x + o(x)$ (la derivata di $o(x^2)$ è $o(x)$?)
$f'(0) = -1/2 + o(0)$
che significa $o(0)$? Come si concerta il $-1/2$ con l' $o(0)$? Infatti $-1/2$ in un intorno di $0$ dovrebbe tendere meno velocemente a $0$ dello stessa funzione costante $0$.
Non riesco a uscire da questa situazione.
Nel punto $b)$ se sostituisco a $f(x)$ il suo valore, ottengo il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (o(x^2))/(x^2 - x^3) $
come devo gestirlo? Fa $0$ perchè $o(x^2)$ ingloba gli altri infinitesimi al denominatore?
Non vi chiedo di risolvermi l'esercizio, ma solo di darmi qualche dritta per la risoluzione di questa tipologia di esercizi.
Ad ogni modo, Vi ringrazio per la disponibilità
Risposte
a. Beh dato che il polinomio di MacLaurin del secondo ordine relativo ad \(f\) è:
\[
T_2(x;0) := f(0) + f^\prime (0)\ x + \frac{1}{2}\ f^{\prime \prime \prime} (0) x^2
\]
e, dato che esso è l'unico polinomio di secondo grado tale che:
\[
f(x) - T_2(x;0) = \text{o}(x^2)\; ,
\]
deve essere:
\[
T_2(x;0) = -\frac{1}{2}\ x +\frac{5}{3}\ x^2\; .
\]
Ma allora, per il principio di identità dei polinomi, i coefficienti di \(T_2(x;0)\) devono essere ordinatamente uguali ai coefficienti del polinomio a secondo membro della precedente; dunque:
\[
\begin{cases}
f(0) = 0\\
f^\prime (0) = -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}\ f^{\prime \prime} (0) = \frac{5}{3}
\end{cases}
\]
da cui ricavi le informazioni che ti servono.
b. Dato che \(f(x) = -\frac{1}{2} x + \frac{5}{3} x^2 + \text{o}(x^2)\), hai:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{f(x) + \frac{1}{2} x - \frac{5}{3} x^2}{x^2-x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\text{o}(x^2)}{x^2}\ \frac{1}{1-x}
\]
e dovresti saper svolgere i calcoli ad occhi chiusi.
\[
T_2(x;0) := f(0) + f^\prime (0)\ x + \frac{1}{2}\ f^{\prime \prime \prime} (0) x^2
\]
e, dato che esso è l'unico polinomio di secondo grado tale che:
\[
f(x) - T_2(x;0) = \text{o}(x^2)\; ,
\]
deve essere:
\[
T_2(x;0) = -\frac{1}{2}\ x +\frac{5}{3}\ x^2\; .
\]
Ma allora, per il principio di identità dei polinomi, i coefficienti di \(T_2(x;0)\) devono essere ordinatamente uguali ai coefficienti del polinomio a secondo membro della precedente; dunque:
\[
\begin{cases}
f(0) = 0\\
f^\prime (0) = -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}\ f^{\prime \prime} (0) = \frac{5}{3}
\end{cases}
\]
da cui ricavi le informazioni che ti servono.
b. Dato che \(f(x) = -\frac{1}{2} x + \frac{5}{3} x^2 + \text{o}(x^2)\), hai:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{f(x) + \frac{1}{2} x - \frac{5}{3} x^2}{x^2-x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\text{o}(x^2)}{x^2}\ \frac{1}{1-x}
\]
e dovresti saper svolgere i calcoli ad occhi chiusi.
Ciao Gugo e grazie per la tua risposta. Allora: il polinomio di Taylor di $f(x)$ te lo sei calcolato direttamente dalla formula giusto? Non capisco però l'implicazione che sta alla base del secondo passaggio:
Me lo potresti spiegare?
Ti ringrazio
e, dato che esso è l'unico polinomio di secondo grado tale che:
\[
f(x) - T_2(x;0) = \text{o}(x^2)\; ,
\]
deve essere:
\[
T_2(x;0) = -\frac{1}{2}\ x +\frac{5}{3}\ x^2\; .
\]
Me lo potresti spiegare?
Ti ringrazio
Nel tuo caso hai che:
\[
f(x) = -\frac{1}{2}\ x + \frac{5}{3}\ x^2 +\text{o}(x^2)\; ,
\]
ossia:
\[
f(x) +\frac{1}{2}\ x - \frac{5}{3}\ x^2 =\text{o}(x^2)\; .
\]
Ma \(T_2(x;0)\) è l'unico polinomio caratterizzato dalla proprietà \(f(x) - T_2(x;0)=\text{o}(x^2)\); in altre parole, vale il seguente fatto:
da cui segue che:
\[
T_2(x;0) = -\frac{1}{2}\ x + \frac{5}{3}\ x^2\; .
\]
\[
f(x) = -\frac{1}{2}\ x + \frac{5}{3}\ x^2 +\text{o}(x^2)\; ,
\]
ossia:
\[
f(x) +\frac{1}{2}\ x - \frac{5}{3}\ x^2 =\text{o}(x^2)\; .
\]
Ma \(T_2(x;0)\) è l'unico polinomio caratterizzato dalla proprietà \(f(x) - T_2(x;0)=\text{o}(x^2)\); in altre parole, vale il seguente fatto:
Se \(p(x)\) è un polinomio di secondo grado tale che:
\[
f(x) - p(x) =\text{o}(x^2) \qquad \text{per } x\to 0
\]
allora \(p(x) = T_2(x;0)\) per ogni \(x\) intorno a \(0\).
da cui segue che:
\[
T_2(x;0) = -\frac{1}{2}\ x + \frac{5}{3}\ x^2\; .
\]
Ti ringrazio vivamente! Il limite dovrebbe essere $0$ vero? Giusto per curiosità
Yes.
Gugo, non vorrei sembrare un approfittatore, ma vorrei chiederti un secondo parere.
Nel calcolo del seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (-1/6x^2+o(x^2))/x^2 $
sarebbe lecito semplificare le $x^2$ (anche nell'o piccolo) ottenendo così $-1/6$?
Nel calcolo del seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (-1/6x^2+o(x^2))/x^2 $
sarebbe lecito semplificare le $x^2$ (anche nell'o piccolo) ottenendo così $-1/6$?
Beh, basta spezzare la frazione per trovare...
come abbiamo fatto in precedenza! scusami, sono 8 ore che studio e sto fondendo Grazie mille gugo
Grazie mille gugo
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