Richiesta spiegazione di una uguaglianza
Salve, mi sono imbattuto in una uguaglianza che non capisco, potete aiutarmi?
Ho una funzione f di classe C'(T), con T dominio normale definito come segue:
\(\displaystyle T=\left\{\left(x,\ y\right)\in R\ :\ a\le x\le b,\ \alpha \left(x\right)\le y\le \beta \left(x\right)\right\}\ con\ \alpha ,\ \beta \in C'\left(\left[a,b\right]\right)\ :\ \alpha \left(x\right)<\beta \left(x\right)\ per\ ogni\ x\in \left[a,b\right] \)
L'uguaglianza in oggetto è la seguente:
\(\displaystyle \int _a^b\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^{\beta \left(x\right)}\frac{df}{dx}\left(x,\ y\right)dy\right)dx\ =-\int _{+∂T}^{ }\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^y\frac{df}{dx}\left(x,\ t\right)dt\right)dx \)
Grazie in anticipo.
Ho una funzione f di classe C'(T), con T dominio normale definito come segue:
\(\displaystyle T=\left\{\left(x,\ y\right)\in R\ :\ a\le x\le b,\ \alpha \left(x\right)\le y\le \beta \left(x\right)\right\}\ con\ \alpha ,\ \beta \in C'\left(\left[a,b\right]\right)\ :\ \alpha \left(x\right)<\beta \left(x\right)\ per\ ogni\ x\in \left[a,b\right] \)
L'uguaglianza in oggetto è la seguente:
\(\displaystyle \int _a^b\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^{\beta \left(x\right)}\frac{df}{dx}\left(x,\ y\right)dy\right)dx\ =-\int _{+∂T}^{ }\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^y\frac{df}{dx}\left(x,\ t\right)dt\right)dx \)
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Joker1,
Benvenuto sul forum!
Così ad occhio mi pare una delle due formule di Gauss-Green nel piano, però la derivata è fatta rispetto a $y$ (non rispetto a $x$) ed è una derivata parziale:
$\int\int_T (\del f)/(\del y) \text{d}x \text{d}y = - \int_{\del T^+} f(x, y) \text{d}x $
Per il calcolo dell'integrale a primo membro si ha:
$\int\int_T (\del f)/(\del y) \text{d}x \text{d}y = \int_a^b (\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} (\del f)/(\del y)(x, y) \text{d}y) \text{d}x = \int_a^b [f(x, \beta(x)) - f(x, \alpha(x))] \text{d}x $
avendo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale. Nell'integrale a secondo membro invece al posto di $f(x,y) $ ha sostituito $\int_{\alpha(x)}^y (\del f)/(\del y)(x, t) \text{d}t $, sicché l'integrale al secondo membro diventa
$ - \int_{\del T^+} (\int_{\alpha(x)}^y (\del f)/(\del y)(x, t) \text{d}t) \text{d}x $
Benvenuto sul forum!
Così ad occhio mi pare una delle due formule di Gauss-Green nel piano, però la derivata è fatta rispetto a $y$ (non rispetto a $x$) ed è una derivata parziale:
$\int\int_T (\del f)/(\del y) \text{d}x \text{d}y = - \int_{\del T^+} f(x, y) \text{d}x $
Per il calcolo dell'integrale a primo membro si ha:
$\int\int_T (\del f)/(\del y) \text{d}x \text{d}y = \int_a^b (\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} (\del f)/(\del y)(x, y) \text{d}y) \text{d}x = \int_a^b [f(x, \beta(x)) - f(x, \alpha(x))] \text{d}x $
avendo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale. Nell'integrale a secondo membro invece al posto di $f(x,y) $ ha sostituito $\int_{\alpha(x)}^y (\del f)/(\del y)(x, t) \text{d}t $, sicché l'integrale al secondo membro diventa
$ - \int_{\del T^+} (\int_{\alpha(x)}^y (\del f)/(\del y)(x, t) \text{d}t) \text{d}x $
Grazie per la risposta. L'uguaglianza è usata nella dimostrazione del teorema di Gauss, e risulta proprio la derivata rispetto la x (non è un errore di copiatura).
"Joker1":
L'uguaglianza è usata nella dimostrazione del teorema di Gauss
Beh, se posti questa dimostrazione forse possiamo aiutarti meglio: il contesto è importante.
Teorema di Gauss: Siano A un aperto di R2, T un dominio regolare a p+1 contorni e f una funzione di classe C'(T). Allora valgono le seguenti relazioni:
1. \( \int _T^{ }f_x\left(x,\ y\right)dxdy\ =\ \int _{+∂T}^{ }f\left(x,\ y\right)dy \)
2. \( \int _T^{ }f_y\left(x,\ y\right)dxdy\ =-\int _{+∂T}^{ }f\left(x,\ y\right)dx \)
Dimostrazione:
Proviamo soltanto la relazione 1. essendo la dimostrazione dell'altra molto simile.
Possiamo limitarci a dare la dimostrazione nel caso particolare in cui T sia un dominio normale.
Supponiamo prima che il dominio T sia normale rispetto all'asse y, ovvero:
\( T=\left\{\left(x,\ y\right)\in R^2\ :\ c\le y\le d,\ \ p\left(y\right)\le x\le q\left(y\right)\right\}\ \)
con p, q funzioni reali di classe C'([c,d]) tali che p(y) < q(y) per ogni y in [c, d].
Si ha:
\( \int _T^{ }f_x\left(x,\ y\right)dxdy\ =\ \int _c^d\left(\int _{p\left(y\right)}^{q\left(y\right)}f_x\left(x,\ y\right)dx\right)dy\ =\int _c^df_x\left(q\left(y\right),\ y\right)dy\ -\ \int _c^df_x\left(p\left(y\right),\ y\right)dy\ =\int _{+∂T}^{ }f\left(x,\ y\right)dy\ \)
che è la 1.
Supponiamo adesso il dominio normale rispettoall'asse x, ovvero:
\( T=\left\{\left(x,\ y\right)\in R^2\ :\ a\le x\le b,\ \ \alpha \left(x\right)\le y\le \beta \left(x\right)\right\} \)
con α, β funzioni reali di classe C'([a,b]) tali che α(x) < β(x) per ogni x in [a, b].
Si ha:
\( \int _T^{ }f_x\left(x,\ y\right)dxdy\ =\ \int _a^b\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^{\beta \left(x\right)}f_x\left(x,\ y\right)dy\right)dx\ =-\int _{+∂T}^{ }\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^yf_x\left(x,\ t\right)dt\ \right)dx \)
e quindi la tesi consiste nel mostrare che:
\( \int _{+∂T}^{ }\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^yf_x\left(x,\ t\right)dt\ \right)dx+f\left(x,\ y\right)dy\ =0 \)
e ciò sarà assicurato dall'esattezza della forma differenziale:
\( w\left(x,\ y\right)=\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^yf_x\left(x,\ t\right)dt\right)dx+f\left(x,\ y\right)dy\ in\ T \)
La forma è chiusa e risulta esatta perchè T è semplicemente connesso. Basta infatti considerare la funzione F: [a,b]x[0,1] -> T definita ponendo
\( F\left(x,\ t\right)=\left(1-t\right)\alpha \left(x\right)+t\beta \left(x\right)\ per\ ogni\ x\in \left[a,\ b\right]\ per\ ogni\ t\in \left[0,\ 1\right]. \)
1. \( \int _T^{ }f_x\left(x,\ y\right)dxdy\ =\ \int _{+∂T}^{ }f\left(x,\ y\right)dy \)
2. \( \int _T^{ }f_y\left(x,\ y\right)dxdy\ =-\int _{+∂T}^{ }f\left(x,\ y\right)dx \)
Dimostrazione:
Proviamo soltanto la relazione 1. essendo la dimostrazione dell'altra molto simile.
Possiamo limitarci a dare la dimostrazione nel caso particolare in cui T sia un dominio normale.
Supponiamo prima che il dominio T sia normale rispetto all'asse y, ovvero:
\( T=\left\{\left(x,\ y\right)\in R^2\ :\ c\le y\le d,\ \ p\left(y\right)\le x\le q\left(y\right)\right\}\ \)
con p, q funzioni reali di classe C'([c,d]) tali che p(y) < q(y) per ogni y in [c, d].
Si ha:
\( \int _T^{ }f_x\left(x,\ y\right)dxdy\ =\ \int _c^d\left(\int _{p\left(y\right)}^{q\left(y\right)}f_x\left(x,\ y\right)dx\right)dy\ =\int _c^df_x\left(q\left(y\right),\ y\right)dy\ -\ \int _c^df_x\left(p\left(y\right),\ y\right)dy\ =\int _{+∂T}^{ }f\left(x,\ y\right)dy\ \)
che è la 1.
Supponiamo adesso il dominio normale rispettoall'asse x, ovvero:
\( T=\left\{\left(x,\ y\right)\in R^2\ :\ a\le x\le b,\ \ \alpha \left(x\right)\le y\le \beta \left(x\right)\right\} \)
con α, β funzioni reali di classe C'([a,b]) tali che α(x) < β(x) per ogni x in [a, b].
Si ha:
\( \int _T^{ }f_x\left(x,\ y\right)dxdy\ =\ \int _a^b\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^{\beta \left(x\right)}f_x\left(x,\ y\right)dy\right)dx\ =-\int _{+∂T}^{ }\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^yf_x\left(x,\ t\right)dt\ \right)dx \)
e quindi la tesi consiste nel mostrare che:
\( \int _{+∂T}^{ }\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^yf_x\left(x,\ t\right)dt\ \right)dx+f\left(x,\ y\right)dy\ =0 \)
e ciò sarà assicurato dall'esattezza della forma differenziale:
\( w\left(x,\ y\right)=\left(\int _{\alpha \left(x\right)}^yf_x\left(x,\ t\right)dt\right)dx+f\left(x,\ y\right)dy\ in\ T \)
La forma è chiusa e risulta esatta perchè T è semplicemente connesso. Basta infatti considerare la funzione F: [a,b]x[0,1] -> T definita ponendo
\( F\left(x,\ t\right)=\left(1-t\right)\alpha \left(x\right)+t\beta \left(x\right)\ per\ ogni\ x\in \left[a,\ b\right]\ per\ ogni\ t\in \left[0,\ 1\right]. \)
Beh, è un po' lungo da scrivere in un post, ma potresti dare un'occhiata ad esempio qui:
http://www.mat.unimi.it/users/libor/FIS ... Stokes.pdf
http://www.mat.unimi.it/users/libor/FIS ... Stokes.pdf
Va bene, grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo