Richiesta goniometrica
Ciao,
dovrei risolvere: $sinz(1-cosz)$ quando vi è l'annullamento di entrambe i fattori o solo di uno di essi.
La risposta me la sono trovata disegnandomi la circonferenza goniometrica e sostanzialmente a parte lo zero che ha annullamento di entrambe i fattori questo accade se: $z=kpi$ con k pari. L'annullamento del seno (da solo) si ha per k dispari.
Tuttavia non mi piace la soluzione "Intuitiva" ma analiticamente non riesco ad impostarla in modo da trovare questo risultato, voi come fareste?
Io avevo provato a imporre per il seno $z=kpi$ cioè dove si annulla e per 1-coseno: $z=2tpi$ tuttavia poi non avrebbe senso $kpi=2tpi$ ovviamente, insomma mi piacerebbe trovare una strada analitica più formale.
Grazie
dovrei risolvere: $sinz(1-cosz)$ quando vi è l'annullamento di entrambe i fattori o solo di uno di essi.
La risposta me la sono trovata disegnandomi la circonferenza goniometrica e sostanzialmente a parte lo zero che ha annullamento di entrambe i fattori questo accade se: $z=kpi$ con k pari. L'annullamento del seno (da solo) si ha per k dispari.
Tuttavia non mi piace la soluzione "Intuitiva" ma analiticamente non riesco ad impostarla in modo da trovare questo risultato, voi come fareste?
Io avevo provato a imporre per il seno $z=kpi$ cioè dove si annulla e per 1-coseno: $z=2tpi$ tuttavia poi non avrebbe senso $kpi=2tpi$ ovviamente, insomma mi piacerebbe trovare una strada analitica più formale.
Grazie
Risposte
Ciao harperf,
Non sono sicuro di aver capito la domanda...
Per il principio di annullamento del prodotto, si ha $ sinz(1-cosz) = 0 $ per $z_k = k\pi, \quad k \in \ZZ $
dato che $1-cosz $ si annulla per $z_m = 2m\pi, \quad m \in \ZZ $ ed è chiaro che tale risultato è incluso in quello precedentemente citato.
Non sono sicuro di aver capito la domanda...
Per il principio di annullamento del prodotto, si ha $ sinz(1-cosz) = 0 $ per $z_k = k\pi, \quad k \in \ZZ $
dato che $1-cosz $ si annulla per $z_m = 2m\pi, \quad m \in \ZZ $ ed è chiaro che tale risultato è incluso in quello precedentemente citato.
Ciao pilloeffe,
diciamo che l'esercizio nasce dal calcolo di un polo (cioè il signore si trovaq a denominatore), quindi devo distinguere quando si annulla solo un fattore o entrambi per necessità. ovviamente noto annullarsi come dici tu per il principio arcinoto per i due zeta da te indicati.
Il risultato dovrebbe essere che ho doppio annullamento per k pari, mentre annullamento singolo (solo del seno) per k dispari, lo vedo usando la circonferenza goniometrica, purtuttavia avrei voluto arrivarci per via analitica (cioè solo con calcoli) ma non mi sembra possibile.
Da qui la domanda
diciamo che l'esercizio nasce dal calcolo di un polo (cioè il signore si trovaq a denominatore), quindi devo distinguere quando si annulla solo un fattore o entrambi per necessità. ovviamente noto annullarsi come dici tu per il principio arcinoto per i due zeta da te indicati.
Il risultato dovrebbe essere che ho doppio annullamento per k pari, mentre annullamento singolo (solo del seno) per k dispari, lo vedo usando la circonferenza goniometrica, purtuttavia avrei voluto arrivarci per via analitica (cioè solo con calcoli) ma non mi sembra possibile.
Da qui la domanda
A questo punto forse sarebbe meglio che postassi la funzione $f(z) $ per intero, spiegandoci anche che cosa ci devi fare...
Osserverei anche che potresti moltiplicare numeratore e denominatore per $1 + cos z $
Osserverei anche che potresti moltiplicare numeratore e denominatore per $1 + cos z $
Ciao pilloeffe e buon sabato,
la funzione intera l'ho postata qui per altri dubbi viewtopic.php?f=54&t=198302 , non correlati meramente al calcolo in sé (quindi ho tenuto due post separati per non creare confusione), se ti interessa per curiosità buttarci un occhio
Diciamo che in questo caso volevo solo scrivere in maniera più formale il risultato sulle k che ho trovato per via non meramente analitica. Cioè cercavo un risultato analitico più che intuitivo come ho svolto io.
la funzione intera l'ho postata qui per altri dubbi viewtopic.php?f=54&t=198302 , non correlati meramente al calcolo in sé (quindi ho tenuto due post separati per non creare confusione), se ti interessa per curiosità buttarci un occhio
Diciamo che in questo caso volevo solo scrivere in maniera più formale il risultato sulle k che ho trovato per via non meramente analitica. Cioè cercavo un risultato analitico più che intuitivo come ho svolto io.
Dai... Il seno si annulla solo nei multipli interi di $pi$, con zero di ordine $1$.
Il coseno assume valore $1$ solo nei multipli interi pari di $pi$ e la funzione $1-cos z$ presenta in tali punti zeri d’ordine $2$.
Conseguentemente, i punti del tipo $z_k = (2k+1)pi$ sono zeri per la funzione $sin z (1-cos z)$ d’ordine $1$, mentre i punti del tipo $z_h = 2hpi$ sono zeri per $sin z (1-cos z)$ d’ordine $1+2=3$.
Il coseno assume valore $1$ solo nei multipli interi pari di $pi$ e la funzione $1-cos z$ presenta in tali punti zeri d’ordine $2$.
Conseguentemente, i punti del tipo $z_k = (2k+1)pi$ sono zeri per la funzione $sin z (1-cos z)$ d’ordine $1$, mentre i punti del tipo $z_h = 2hpi$ sono zeri per $sin z (1-cos z)$ d’ordine $1+2=3$.
Ciao gugo, sisi ma quello infatti è quello che ho scritto e come l'ho risolto!
Mi chiedevo se si potesse impostare in via puramente analitica. Da qui la richiesta, rimane aperta la domanda sull'ordine degli zeri a cui ho risposto nel link. Attenderò quando avrai tempo per sapere se avevo scritto giusto di là
Mi chiedevo se si potesse impostare in via puramente analitica. Da qui la richiesta, rimane aperta la domanda sull'ordine degli zeri a cui ho risposto nel link. Attenderò quando avrai tempo per sapere se avevo scritto giusto di là
Ma che vuol dire “più analitica”?
Più formale, forse?
Io direi che non c’è nulla di interessante a formalizzare meglio la faccenda, perché essa è già completamente formalizzata.
Gli zeri di $sin z$ sono del tipo $npi$ con $n in ZZ$ e, tra tali zeri, quelli nella forma $2h pi$ con $h in ZZ$ (corrispondenti agli $n=2h$ pari) sono zeri pure di $1-cos z$.
Più formale, forse?
Io direi che non c’è nulla di interessante a formalizzare meglio la faccenda, perché essa è già completamente formalizzata.
Gli zeri di $sin z$ sono del tipo $npi$ con $n in ZZ$ e, tra tali zeri, quelli nella forma $2h pi$ con $h in ZZ$ (corrispondenti agli $n=2h$ pari) sono zeri pure di $1-cos z$.
"gugo82":
Più formale, forse?
Sì, esattamente. Scusa se mi ero espresso male
E grazie ancora.
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