Richiesta di chiarimenti
Ciao a tutti. inizio presentandomi, sono nuovo, mi chiamo Bernardo e sono al primo anno di ingegneria.
Vorrei chiedervi aiuto riguardo ad un appunto scovato in un libro usato di analisi due.
L'argomento in questione era la continuità delle funzioni in due variabili
dopo due classiche definizioni (una con intorni e l'altra con i limiti), ne ho trovato una: "nozione estesa di continuità"
questa è definita nel seguente modo:
"per ogni A sottoinsieme di R aperto la funzione inversa di A (retroimmagine dell'insieme) è aperta"
cosa significa e perché può essere eventualmente utile usare tale definizione?
grazie a tutti per le risposte e per il vostro tempo
saluti
Bernardo
Vorrei chiedervi aiuto riguardo ad un appunto scovato in un libro usato di analisi due.
L'argomento in questione era la continuità delle funzioni in due variabili
dopo due classiche definizioni (una con intorni e l'altra con i limiti), ne ho trovato una: "nozione estesa di continuità"
questa è definita nel seguente modo:
"per ogni A sottoinsieme di R aperto la funzione inversa di A (retroimmagine dell'insieme) è aperta"
cosa significa e perché può essere eventualmente utile usare tale definizione?
grazie a tutti per le risposte e per il vostro tempo
saluti
Bernardo
Risposte
Quella che hai “trovato”, ossia:
\[
\forall A\subseteq Y \text{ aperto},\ f^{-1}(A) \text{ è aperto in } X
\]
(qui $X$ ed $Y$ sono spazi topologici ed $f:X->Y$) è la definizione topologica della continuità e viene usata, di solito, quando non si lavora con funzioni numeriche (o, più in generale, a valori in spazi metrici), cioè nei casi in cui non ha senso usare la solita definizione in termini di $epsilon$ e $delta$ (o, in generale, quando non puoi quantificare la distanza tra punti, ma dire solo se due punti sono vicini o non lo sono nel senso dello spazio in cui si muovono le variabili).
Nei casi numerici, la proprietà che citi è del tutto equivalente alla definizione in termini di $epsilon$ e $delta$ e si dimostra con un po’ di pazienza.
\[
\forall A\subseteq Y \text{ aperto},\ f^{-1}(A) \text{ è aperto in } X
\]
(qui $X$ ed $Y$ sono spazi topologici ed $f:X->Y$) è la definizione topologica della continuità e viene usata, di solito, quando non si lavora con funzioni numeriche (o, più in generale, a valori in spazi metrici), cioè nei casi in cui non ha senso usare la solita definizione in termini di $epsilon$ e $delta$ (o, in generale, quando non puoi quantificare la distanza tra punti, ma dire solo se due punti sono vicini o non lo sono nel senso dello spazio in cui si muovono le variabili).
Nei casi numerici, la proprietà che citi è del tutto equivalente alla definizione in termini di $epsilon$ e $delta$ e si dimostra con un po’ di pazienza.
Grazie per la risposta e per la chiarezza gugo82
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