Ricerca q asintoto obliquo e dubbi sulle approssimazioni del prim'ordine
Buongiorno a tutti. Chiedo gentilmente aiuto con il seguente esercizio:
Dopo aver verificato che la funzione \(\ln\left(e^x+x+2\right)+\frac{\sin3x}{x}\) diverge ho trovato la m dell'asintoto obliquo (m=1). Ho quindi impostato il seguente limite per la ricerca di q:
\(\lim _{x\to \infty }\left(ln\left(e^x+x+2\right)+\frac{\left(sin\:3x\right)}{x}-x\right)\)
Ora approssimando l'argomento del logaritmo a \(e^x\) si ottiene \(x\) la quale si elide con la \(-x\) e il limite viene uguale a \(0\).
Il mio dubbio sta nella legittimità dell'approssimazione. Il fatto che si elidano due \(x\) la rende eccessiva? Sarebbe meglio utilizzare una approssimazione del secondo ordine?
Non credo di aver capito molto bene i criteri secondo cui un'approssimazione del primo ordine sia lecita o meno.
Dopo aver verificato che la funzione \(\ln\left(e^x+x+2\right)+\frac{\sin3x}{x}\) diverge ho trovato la m dell'asintoto obliquo (m=1). Ho quindi impostato il seguente limite per la ricerca di q:
\(\lim _{x\to \infty }\left(ln\left(e^x+x+2\right)+\frac{\left(sin\:3x\right)}{x}-x\right)\)
Ora approssimando l'argomento del logaritmo a \(e^x\) si ottiene \(x\) la quale si elide con la \(-x\) e il limite viene uguale a \(0\).
Il mio dubbio sta nella legittimità dell'approssimazione. Il fatto che si elidano due \(x\) la rende eccessiva? Sarebbe meglio utilizzare una approssimazione del secondo ordine?
Non credo di aver capito molto bene i criteri secondo cui un'approssimazione del primo ordine sia lecita o meno.
Risposte
Ciao gianni97,
Non vedo particolari problemi di approssimazioni, infatti si ha:
$q = lim_{n \to +\infty} ln(e^x+x+2) + frac{sin(3x)}{x} - x = lim_{n \to +\infty} ln(e^x+x+2) - x + frac{sin(3x)}{x} = $
$ = lim_{n \to +\infty} ln(e^x+x+2) - ln e^x + frac{sin(3x)}{x} = lim_{n \to +\infty} ln(frac{e^x+x+2}{e^x}) + frac{sin(3x)}{x} = $
$ = lim_{n \to +\infty} ln(1 + frac{x+2}{e^x}) + frac{sin(3x)}{x} = ln(1) + 0 = 0 $
In definitiva l'asintoto obliquo della funzione proposta $f(x) = ln(e^x+x+2) + frac{sin(3x)}{x} $ è la bisettrice del I e del III quadrante $y = x $
Non vedo particolari problemi di approssimazioni, infatti si ha:
$q = lim_{n \to +\infty} ln(e^x+x+2) + frac{sin(3x)}{x} - x = lim_{n \to +\infty} ln(e^x+x+2) - x + frac{sin(3x)}{x} = $
$ = lim_{n \to +\infty} ln(e^x+x+2) - ln e^x + frac{sin(3x)}{x} = lim_{n \to +\infty} ln(frac{e^x+x+2}{e^x}) + frac{sin(3x)}{x} = $
$ = lim_{n \to +\infty} ln(1 + frac{x+2}{e^x}) + frac{sin(3x)}{x} = ln(1) + 0 = 0 $
In definitiva l'asintoto obliquo della funzione proposta $f(x) = ln(e^x+x+2) + frac{sin(3x)}{x} $ è la bisettrice del I e del III quadrante $y = x $
Capito. La ringrazio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo