Ricerca punti di max/min assoluti in dominio D
Ciao ragazzi, sto studiando la seguente funzione di due variabili
$f(x,y)=x^3-3x+log(4+y^2)$
Ho già trovato i max/min relativi, sto trovando problemi nel trovare i max/min assoluti nel seguente dominio
$D={ (x,y)\in RR^2: 0<=2x<=y<=1 }$
Disegnando il dominio viene un triangolo con vertici $(0,0), (1/2,1), (0,1)$.
Non riesco a trovare i punti però.
$f(x,y)=x^3-3x+log(4+y^2)$
Ho già trovato i max/min relativi, sto trovando problemi nel trovare i max/min assoluti nel seguente dominio
$D={ (x,y)\in RR^2: 0<=2x<=y<=1 }$
Disegnando il dominio viene un triangolo con vertici $(0,0), (1/2,1), (0,1)$.
Non riesco a trovare i punti però.
Risposte
"angelointi94":
Ciao ragazzi, sto studiando la seguente funzione di due variabili
$f(x,y)=x^3-3x+log(4+y^2)$
Ho già trovato i max/min relativi
fai vedere?
"gio73":
[quote="angelointi94"]Ciao ragazzi, sto studiando la seguente funzione di due variabili
$f(x,y)=x^3-3x+log(4+y^2)$
Ho già trovato i max/min relativi
fai vedere?[/quote]
Allora ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x e y , $f_x=3x^2-3$, $f_y=(2y)/(4+y^2)$ e ne ho fatto il sistema per trovare i punti stazionari, e ho trovato questi due punti $(1,0)$ e $(-1,0)$.
Quindi ho calcolato l'Hessiano $f_(xxx)=6x$ , $f_(yy)=(-2y^2+8)/(y^4+8y^2+16)$, $f_xy=0$.
Quindi $Hf (1,0)=3 $ ----> $f_xxx>0$ ----> $(1,0)$ Punto di minimo relativo
$Hf (-1,0)=-3$ ----> $(-1,0)$ Punto di sella
"angelointi94":
Allora ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x e y , $f_x=x^2-3$, $f_y=(2y)/(4+y^2)$ e ne ho fatto il sistema per trovare i punti stazionari, e ho trovato questi due punti $(1,0)$ e $(-1,0)$.
a me non sembra che i punti stazionari che hai trovato azzerino le derivate prime parziali -> ergo -> non mi sembrano punti molto stazionari
Se provi a sostituire si azzerano le derivate...
per $(1,0)$ ---> $3 (1)^2-3=0$ ----> $(2(0))/(4+(0)^2)=0$
per $(-1,0)$ ---> $3 (-1)^2-3=0$ ----> $(2(0))/(4+(0)^2)=0$
per $(1,0)$ ---> $3 (1)^2-3=0$ ----> $(2(0))/(4+(0)^2)=0$
per $(-1,0)$ ---> $3 (-1)^2-3=0$ ----> $(2(0))/(4+(0)^2)=0$
"tommik":
[quote="angelointi94"]
Allora ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x e y , $f_x=x^2-3$, $f_y=(2y)/(4+y^2)$ e ne ho fatto il sistema per trovare i punti stazionari, e ho trovato questi due punti $(1,0)$ e $(-1,0)$.
a me non sembra che i punti stazionari che hai trovato azzerino le derivate prime parziali -> ergo -> non mi sembrano punti molto stazionari[/quote]
Pardon mancava un 3 nella derivata prima parziale rispetto ad x, infatti è
$f_x=3x^2-3$
ok. Trovati i punti hai controllato che essi appartengano alle restrizioni imposte dal dominio?
Perché nel caso i punti trovati fossero al di fuori del dominio mi sembra un po' inutile andare a calcolare matrice hessiana ecc ecc....
Perché nel caso i punti trovati fossero al di fuori del dominio mi sembra un po' inutile andare a calcolare matrice hessiana ecc ecc....
"tommik":
ok. Trovati i punti hai controllato che essi appartengano alle restrizioni imposte dal dominio?
Perché nel caso i punti trovati fossero al di fuori del dominio mi sembra un po' inutile andare a calcolare matrice hessiana ecc ecc....
Allora entrambi i punti non appartengono al dominio, ma l'esercizio mi chiede comunque di calcolare gli estremi relativi della funzione, e poi successivamente quelli assoluti nel dominio D, capito ?
Io sto trovando difficoltà nel ricercare i punti stazionari sul bordo, in particolare per il lato del triangolo di vertici (0,0), (1/2,1), di equazione $y=2x$, perché poi ho trovato in uno degli altri due lati un punto che sarà di max o min per D.
Io per il lato di equazione $y=2x$ ho fatto così:
-Essendo gli estremi $A=(0,0)$ e $B=(1/2,1)$, quindi varia sia la x che la y, ho riscritto la funzione $f(x,y)$ come $g(x)=f(x,2x)$ ( ho sostituito sapendo che in quel tratto $y=2x$)
- Quindi adesso ho $g(x)=x^3-3x+log(4+4x^2)$
-A questo punto faccio la derivata prima e la pongo maggiore di 0 per ricercare i max/min della funzione ottenuta nella sola variabile x , ovvero
$g'(x)=3x^2-3+(8x)/(4+4x^2)=(12x^4+8x-12)/(4+4x^2)>0$
Il problema mi è sorto proprio qui nel risolvere questa disequazione, non riesco a scomporla, forse ho sbagliato qualche conto ? Mi affido a voi
io avevo capito pure prima....ti ho chiesto se i punti trovati di max/min relativi appartenessero al dominio perché chiaramente erano esclusi...ma tu avevi già messo in pista matrici hessiane ecc ecc....inutilmente. Una volta che vedi che i punti stazionari non appartengono alle restrizioni imposte dal dominio ti puoi fermare lì, asserendo che non vi sono max o min relativi. Poi passi a verificare max e min assoluti di frontiera...
Questo è il dominio D
"tommik":
io avevo capito pure prima....ti ho chiesto se i punti trovati di max/min relativi appartenessero al dominio perché chiaramente erano esclusi...ma tu avevi già messo in pista matrici hessiane ecc ecc....inutilmente
Si ho messo tutti i calcoli perché $gio73$ mi aveva chiesto di far vedere come avevo trovato gli estremi relativi...
"tommik":
Una volta che vedi che i punti stazionari non appartengono alle restrizioni imposte dal dominio ti puoi fermare lì, asserendo che non vi sono max o min relativi. Poi passi a verificare max e min assoluti di frontiera...
Esattamente, e li sorge il problema che ho scritto sopra la tua ultima risposta...
"angelointi94":
$g'(x)=3x^2-3+(8x)/(4+4x^2)=(3x^4+2x-3)/(1+x^2)>0$
Il problema mi è sorto proprio qui nel risolvere questa disequazione, non riesco a scomporla, forse ho sbagliato qualche conto ? Mi affido a voi
in realtà ti basta controllare che tale derivata non si azzeri nell'intervallo $0<=x<=1/2$...e mi sembra piuttosto scontato il risultato.
la ricerca relativa agli altri segmenti di frontiera è banale. In definitiva, una volta verificato che non vi sono massimi e minimi relativi interni, con semplici considerazioni si vede subito che il massimo assoluto è in $(0;1)$ e il minimo assoluto in $(1/2;1)$
"angelointi94":
Si ho messo tutti i calcoli perché $gio73$ mi aveva chiesto di far vedere come avevo trovato gli estremi relativi...
forse te l'ha chiesto perché ha visto che non c'erano.....
"tommik":
in realtà ti basta controllare che tale derivata non si azzeri nell'intervallo $0<=x<=1/2$...e mi sembra piuttosto scontato il risultato.
la ricerca relativa agli altri segmenti di frontiera è banale. In definitiva, una volta verificato che non vi sono massimi e minimi relativi interni, con semplici considerazioni si vede subito che il massimo assoluto è in $(0;1)$ e il minimo assoluto in $(1/2;1)$
Quali sono le considerazioni che intendi tu ? Cioè come faccio a dimostrarlo ? Perché facendo la ricerca nella frontiera i due punti non mi vengono fuori!
L'unico punto che mi è venuto fuori è $(0,0)$.
"angelointi94":
Quali sono le considerazioni che intendi tu ? Cioè come faccio a dimostrarlo ? Perché facendo la ricerca nella frontiera i due punti non mi vengono fuori!
L'unico punto che mi è venuto fuori è $(0,0)$.
se non ti vengono fuori è davvero molto strano....comunque se non riesci con considerazioni banali puoi sempre utilizzare i metodi analitici che conosci. Cominciamo dal principio...
il dominio è un triangolo e sappiamo che all'interno non ci sono max o min. Per analizzare la frontiera cominciamo con il cateto verticale; ovvero con la condizione $x=0$ e $0<=y<=1$. La funzione diventa $z=log(4+y^2)$. Secondo me è immediato vedere come varia la funzione quando y varia tra 0 e 1; se per te non lo è derivala, studiaci il segno e vedi se trovi massimi o minimi. Se non li trovi allora vuol dire che è monotòna e i punti candidati ad essere min o max saranno i punti estremi....e via così per tutti i lati del triangolo...ma ti ripeto: sono tutti conti inutili. Troverai solo i vertici del triangolo come punti candidati. A questo punto basta vedere quanto vale la funzione in tali punti e scegliere il più grande e il più piccolo. Ma scusa a lezione queste cose non le avete mai trattate?
"tommik":
[quote="angelointi94"]
Quali sono le considerazioni che intendi tu ? Cioè come faccio a dimostrarlo ? Perché facendo la ricerca nella frontiera i due punti non mi vengono fuori!
L'unico punto che mi è venuto fuori è $(0,0)$.
se non ti vengono fuori è davvero molto strano....comunque se non riesci con considerazioni banali puoi sempre utilizzare i metodi analitici che conosci. Cominciamo dal principio...
il dominio è un triangolo e sappiamo che all'interno non ci sono max o min. Per analizzare la frontiera cominciamo con il cateto verticale; ovvero con la condizione $x=0$ e $0<=y<=1$. La funzione diventa $z=log(4+y^2)$. Secondo me è immediato vedere come varia la funzione quando y varia tra 0 e 1; se per te non lo è derivala, studiaci il segno e vedi se trovi massimi o minimi. Se non li trovi allora vuol dire che è monotòna e i punti candidati ad essere min o max saranno i punti estremi....e via così per tutti i lati del triangolo...ma ti ripeto: sono tutti conti inutili. Troverai solo i vertici del triangolo come punti candidati. A questo punto basta vedere quanto vale la funzione in tali punti e scegliere il più grande e il più piccolo. Ma scusa a lezione queste cose non le avete mai trattate?[/quote]
Perfettamente ho capito...Purtroppo per vari problemi non ho potuto seguire le lezioni di analisi 2, quindi sto facendo tutto da me seguendo video lezioni su internet e varie dispense
ok nessun problema...per qualsiasi cosa chiedi....quando guarderai la funzione con vincolo $y=2x$ potresti trovare qualche problema in più se intendi analizzare il segno della derivata analiticamente...ma dovresti farcela lo stesso.
Intendo questa:
$(3x^4+2x-3)/(1+x^2)>0$
Denominatore $>0 AAx$ , $ 0<=x<=1/2$
Per analizzare il segno del numeratore puoi fare così:
$3x^4>3-2x$ e vedere graficamente che la curva $3x^4$ è sempre minore della retta $3-2x$ su tutto l'insieme di definizione che ci interessa, ovvero $ 0<=x<=1/2$ [il punto di intersezione è a destra di 1/2] -> derivata sempre <0 -> funzione sempre decrescente in tutto l'intervallo -> anche qui i candidati ai punti di max e min sono $(0;0)$ e $(1/2;1)$, rispettivamente
Intendo questa:
$(3x^4+2x-3)/(1+x^2)>0$
Denominatore $>0 AAx$ , $ 0<=x<=1/2$
Per analizzare il segno del numeratore puoi fare così:
$3x^4>3-2x$ e vedere graficamente che la curva $3x^4$ è sempre minore della retta $3-2x$ su tutto l'insieme di definizione che ci interessa, ovvero $ 0<=x<=1/2$ [il punto di intersezione è a destra di 1/2] -> derivata sempre <0 -> funzione sempre decrescente in tutto l'intervallo -> anche qui i candidati ai punti di max e min sono $(0;0)$ e $(1/2;1)$, rispettivamente
"tommik":
ok nessun problema...per qualsiasi cosa chiedi....quando guarderai la funzione con vincolo $y=2x$ potresti trovare qualche problema in più se intendi analizzare il segno della derivata analiticamente...ma dovresti farcela lo stesso.
Intendo questa:
$(3x^4+2x-3)/(1+x^2)>0$
Denominatore $>0 AAx$ , $ 0<=x<=1/2$
Per analizzare il segno del numeratore puoi fare così:
$3x^4>3-2x$ e vedere graficamente che la curva $3x^4$ è sempre minore della retta $3-2x$ su tutto l'insieme di definizione che ci interessa, ovvero $ 0<=x<=1/2$ [il punto di intersezione è a destra di 1/2] -> derivata sempre <0 -> funzione sempre decrescente in tutto l'intervallo -> anche qui i candidati ai punti di max e min sono $(0;0)$ e $(1/2;1)$, rispettivamente
Perfettamente credo di aver capito, quindi non sono riuscito a trovare i possibili punti di max/min mediante i calcoli perché le funzioni in tutti e tre i lati sono crescenti o decrescenti (quindi non ci sono max/min in quei tratti), e perciò i punti candidati al ruolo di max/min in D sono appunto i tre vertici del triangolo.
Ho detto bene ?
esatto. E' come se volessi cercare il max o il min della funzione $y=x^2$ nel dominio $0<=x<=1$
in realtà se ci pensi bene li hai trovati eccome con i calcoli! se la derivata è sempre dello stesso segno e la funzione è definita in un insieme chiuso e limitato hai trovato che il massimo e minimo sono agli estremi....
in realtà se ci pensi bene li hai trovati eccome con i calcoli! se la derivata è sempre dello stesso segno e la funzione è definita in un insieme chiuso e limitato hai trovato che il massimo e minimo sono agli estremi....
"tommik":
esatto. E' come se volessi cercare il max o il min della funzione $y=x^2$ nel dominio $0<=x<=1$
in realtà se ci pensi bene li hai trovati eccome con i calcoli! se la derivata è sempre dello stesso segno e la funzione è definita in un insieme chiuso e limitato hai trovato che il massimo e minimo sono agli estremi....
Esatto hai ragione! Ti ringrazio ancora per l'ennesima volta, credo che mi aiuterai altre volte prima dell'esame del 6 Luglio
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