Ricerca primitive
Salve ragazzi,
mi sono imbattuta in questo integrale che apparentemente mi sembrava semplice ma non riesco a venirne a capo!
\( \int \frac{x^2}{x^4+1} \ \text{d} x\)
Fra i vari tentativi, ho provato a risolverlo per sostituzione, ma ponendo ad esempio \( x^2=t \), mi complico decisamente la vita. Ho provato per parti, riconoscendo la derivata di \( \ \text{arctg}x^2 \), ma anche in questo caso non sono arrivata a nulla.
C'è per caso qualche sostituzione specifica per funzioni razionali fratte di questo tipo?
Vi ringrazio!
mi sono imbattuta in questo integrale che apparentemente mi sembrava semplice ma non riesco a venirne a capo!
\( \int \frac{x^2}{x^4+1} \ \text{d} x\)
Fra i vari tentativi, ho provato a risolverlo per sostituzione, ma ponendo ad esempio \( x^2=t \), mi complico decisamente la vita. Ho provato per parti, riconoscendo la derivata di \( \ \text{arctg}x^2 \), ma anche in questo caso non sono arrivata a nulla.
C'è per caso qualche sostituzione specifica per funzioni razionali fratte di questo tipo?
Vi ringrazio!
Risposte
Si ha
$x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-\sqrt{2} x)(x^2+1+\sqrt{2} x)$
con gli ultimi due fattori non riducibili. Ora puoi ragionare con le regole delle razionali fratte.
$x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-\sqrt{2} x)(x^2+1+\sqrt{2} x)$
con gli ultimi due fattori non riducibili. Ora puoi ragionare con le regole delle razionali fratte.
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