Ricerca massimi e minimi relativi e assoluti di funzioni a due variabili in seno
Salve a tutti!
Mi viene data dal testo la seguente funzione: $ f(x,y)=sin xsin y $ .
Ho calcolato le derivate prime; $ fx(x,y)=cosxsiny $ e $ fy(x,y)=sinxcosy $
Ho provato a procedere con il sistema $ f(x,y)={ ( cosxsiny=0 ),( sinxcosy=0 ):} $ ;
e poichè la funzione seno si annulla per x ed y=0, $ pi $ e 2 $ pi $ ho individuato i punti stazionari A(0,0), B(0, $ pi $ ), C(0,2 $ pi $ ), D( $ pi $ ,0), E( $ pi $ , $ pi $ ), F( $ pi $ ,2 $ pi $ ), G(2 $ pi $ ,0), H(2 $ pi $ , $ pi $ ) ed I(2 $ pi $ ,2 $ pi $ ).
Calcolando poi le derivate parziali seconde: $ fx,x=-sinxsiny $ , $ fx,y(x,y)=fy,x(x,y)=cosxcosy $ , $ fy,y(x,y)=-sinxsiny $ ho poi costruito la matrice hessiana.
Il problema sta nel fatto che tutti i punti stazionari mi risultano punti di sella, quando dovrebbero esserci come minimo i punti di estremo -1 ed 1 della funzione seno..
Non so inoltre come si utilizzano le costanti e le periodicità in questi casi..
Grazie in anticipo!!
Mi viene data dal testo la seguente funzione: $ f(x,y)=sin xsin y $ .
Ho calcolato le derivate prime; $ fx(x,y)=cosxsiny $ e $ fy(x,y)=sinxcosy $
Ho provato a procedere con il sistema $ f(x,y)={ ( cosxsiny=0 ),( sinxcosy=0 ):} $ ;
e poichè la funzione seno si annulla per x ed y=0, $ pi $ e 2 $ pi $ ho individuato i punti stazionari A(0,0), B(0, $ pi $ ), C(0,2 $ pi $ ), D( $ pi $ ,0), E( $ pi $ , $ pi $ ), F( $ pi $ ,2 $ pi $ ), G(2 $ pi $ ,0), H(2 $ pi $ , $ pi $ ) ed I(2 $ pi $ ,2 $ pi $ ).
Calcolando poi le derivate parziali seconde: $ fx,x=-sinxsiny $ , $ fx,y(x,y)=fy,x(x,y)=cosxcosy $ , $ fy,y(x,y)=-sinxsiny $ ho poi costruito la matrice hessiana.
Il problema sta nel fatto che tutti i punti stazionari mi risultano punti di sella, quando dovrebbero esserci come minimo i punti di estremo -1 ed 1 della funzione seno..
Non so inoltre come si utilizzano le costanti e le periodicità in questi casi..
Grazie in anticipo!!
Risposte
Intanto
fxx =-sin(x)*sin(y)
Quindi se prendiamo $x=pi/2$ e $y=pi/2$
L'hessiano risulta
$((-1,0),(0,-1))$
Determinante positivo primo elemento negativo quindi hessiamo definito negativo -> punto di massimo relativo (come atteso peraltro).
fxx =-sin(x)*sin(y)
Quindi se prendiamo $x=pi/2$ e $y=pi/2$
L'hessiano risulta
$((-1,0),(0,-1))$
Determinante positivo primo elemento negativo quindi hessiamo definito negativo -> punto di massimo relativo (come atteso peraltro).
Quindi la funzione a sistema si annulla anche per $ y=3/2pi $ , $ x=3/2pi $ , $ x=pi/2 $ e $ y=pi/2 $ ?
Scrivo i relativi punti associati in cui le derivate si annullano simultaneamente, e giustifico il fatto che siano massimi e minimi assoluti indicando che il dominio della funzione è $ D(-1,1) $ , citando anche il teorema di Weirstrass?
Scrivo i relativi punti associati in cui le derivate si annullano simultaneamente, e giustifico il fatto che siano massimi e minimi assoluti indicando che il dominio della funzione è $ D(-1,1) $ , citando anche il teorema di Weirstrass?
Ciao ccc95
Proviamo a ragionare con meno calcoli possibili?
$f(x;y) =sinxsiny$
Si tratta del prodotto di due numeri che variano tra - 1 e +1
Il loro prodotto sarà MASSIMO quando
A) $sinx=+1$ E contemporaneamente $siny=+1$
B) $sinx=-1$ E contemporaneamente $siny=-1$
quando avviene A)?
Quando $x=pi/2$ e $y=pi/2$ ma vanno bene anche $(2pi+pi/2; 2pi+pi/2)$ o $(pi/2; 4pi+pi/2)$ o $(pi/2-8pi; 6pi+pi/2)$ etc
quando avviene B)?
Quando$x=3/2pi$ e $y=3/2pi$ a seguire puoi aggiungere tutti $k2pi$ che vuoi e creare le varie combinazioni
Veniamo ai MINIMI
C) $sinx=-1$ e $siny=+1$
D) $sinx=+1$ è $siny=-1$
C)$x=3/2pi +2kpi$ e $y=pi/2 +2kpi$
$k in ZZ$
D)...
Se dovessi immaginarmi questa superficie mi sembrerebbe un po' come i cartoni contenitori delle uova...
Proviamo a ragionare con meno calcoli possibili?
$f(x;y) =sinxsiny$
Si tratta del prodotto di due numeri che variano tra - 1 e +1
Il loro prodotto sarà MASSIMO quando
A) $sinx=+1$ E contemporaneamente $siny=+1$
B) $sinx=-1$ E contemporaneamente $siny=-1$
quando avviene A)?
Quando $x=pi/2$ e $y=pi/2$ ma vanno bene anche $(2pi+pi/2; 2pi+pi/2)$ o $(pi/2; 4pi+pi/2)$ o $(pi/2-8pi; 6pi+pi/2)$ etc
quando avviene B)?
Quando$x=3/2pi$ e $y=3/2pi$ a seguire puoi aggiungere tutti $k2pi$ che vuoi e creare le varie combinazioni
Veniamo ai MINIMI
C) $sinx=-1$ e $siny=+1$
D) $sinx=+1$ è $siny=-1$
C)$x=3/2pi +2kpi$ e $y=pi/2 +2kpi$
$k in ZZ$
D)...
Se dovessi immaginarmi questa superficie mi sembrerebbe un po' come i cartoni contenitori delle uova...
"ccc95":
Quindi la funzione a sistema si annulla anche per $ y=3/2pi $ , $ x=3/2pi $ , $ x=pi/2 $ e $ y=pi/2 $ ?
La funzione si annulla quando almeno uno dei due fattori è 0
$sinx=0$ e quindi $x=0 +kpi$
Oppure
$siny=0$ è quindi $y=0+kpi$
"ccc95":
Scrivo i relativi punti associati in cui le derivate si annullano simultaneamente, e giustifico il fatto che siano massimi e minimi assoluti indicando che il dominio della funzione è $ D(-1,1) $ , citando anche il teorema di Weirstrass?
Il dominio è $D(-1;1)$?
Qui non capisco proprio
"gio73":
Il dominio è (−1;1)?
L'assegnato problema non indica su quale insieme ricercare i minimi e massimi, quindi si presuppone che l'esercizio chieda implicitamente di ricercarli su tutto il dominio (ho sbagliato scrivendo $ D(-1,1) $ ).
Il punto è che mi chiede di trovare i punti di minimo e massimo assoluti, quindi dovrei scrivere anche il dominio della funzione dato che un punto di massimo e minimo assoluto è un punto in cui il valore è massimo o minimo rispetto a tutto il dominio, e per il teorema di Weirstrass questo intervallo dev'essere chiuso e limitato..
Chiedo scusa per la confusione, Analisi II mi sta mettendo alle strette ahahah
Allora hai già passato analisi I
Ti dispiace se ti faccio qualche domanda?
Una per volta.
Qual è il DOMINIO della funzione $f(x) =sinx$?
Ti dispiace se ti faccio qualche domanda?
Una per volta.
Qual è il DOMINIO della funzione $f(x) =sinx$?
"gio73":
Allora hai già passato analisi I
Esatto, però di funzioni seno e coseno non se n'è parlato
"gio73":
Qual è il DOMINIO della funzione f(x)=sinx?
Il dominio della funzione è tutto R? Quindi $ D(-oo ,+oo ) $ ?
Ottimo!
Possiamo rappresentare l insieme $RR$ come se ciascun numero fosse un punto su una retta dove hai individuato un punto che chiameremo 0 e una unità di misura.
UN punto < - > UN numero
Qual è invece il dominio di $f(x;y) = senxseny$?
Ti basta una retta?
Possiamo rappresentare l insieme $RR$ come se ciascun numero fosse un punto su una retta dove hai individuato un punto che chiameremo 0 e una unità di misura.
UN punto < - > UN numero
Qual è invece il dominio di $f(x;y) = senxseny$?
Ti basta una retta?
"gio73":
Qual è invece il dominio di f(x;y)=senxseny?
Il dominio di $ f(x,y)=senxseny $ di conseguenza sarà $ R^2 $ , quindi sempre $ D(-oo ,+oo ) $
La differenza sta nel fatto che per una funzione a due variabili, a due numeri reali (in coppia) $ (x,y) $ associa un numero nell'insieme di arrivo quindi due rette che vanno verso un numero?
"ccc95":
[quote="gio73"]Qual è invece il dominio di f(x;y)=senxseny?
Il dominio di $ f(x,y)=senxseny $ di conseguenza sarà $ R^2 $ , [/quote]
Qui mi trovo
"ccc95":
quindi sempre $ D(-oo ,+oo ) $
Qui mi perdo
Se scrivi $(+1; +pi) $ io capisco un intervallo fatto di numeri che hanno la caratteristica di essere maggiori di +1 e minori di $+pi$
Quindi ad esempio $+2 in (+1; +pi) $, mentre 0 non appartiene a quell intervallo. Me lo posso immaginare come un segmento sulla retta che mi rappresenta i numeri reali che inizia da $+1$ e finisce quando arriviamo a $+pi$
Se invece il mio insieme è $RR^2$ non posso immaginare intervalli come se fossimo su una retta
Mi va bene una porzione di PIANO tipo $x^2+y^2<1$
"ccc95":
La differenza sta nel fatto che per una funzione a due variabili, a due numeri reali (in coppia) $ (x,y) $ associa un numero nell'insieme di arrivo quindi due rette che vanno verso un numero?
La parte sottolineata non la capisco, la parte prima mi va bene
Quindi lasciando la prima parte: il dominio di $ f(x,y)=senxseny $ è tutto $ R^2 $ , e dato che non abbiamo restrizioni per le variabili indipendenti $ x $ ed $ y $ non abbiamo necessità di scrivere altro?
Come posso quindi arrivare alla conclusione che esistano dei minimi e massimi assoluti per tale funzione?
Significa quindi che non esistono massimi e minimi assoluti, giusto?
Come posso quindi arrivare alla conclusione che esistano dei minimi e massimi assoluti per tale funzione?
Significa quindi che non esistono massimi e minimi assoluti, giusto?
"ccc95":
Significa quindi che non esistono massimi e minimi assoluti, giusto?
No. Non significa quello.
Cerchiamo di concludere un discorso sugli insiemi prima di ragionare sul significato delle parole MASSIMO e MINIMO
se l insieme $RR$ lo puoi rappresentare/immaginare come una RETTA
l insieme $RR^2$ come te lo immagini?
se l insieme $RR$ lo puoi rappresentare/immaginare come una RETTA
l insieme $RR^2$ come te lo immagini?
"gio73":
l insieme R2 come te lo immagini?
Dalle definizioni date a lezione dal mio docente:
"Le funzioni di una variabile si rappresentano sul piano $ xu $ mediante una linea detta grafico: sull'asse $ x $, in ascissa, è situato il dominio base della funzione; sull'asse $ u $ , in ordinata, è situato il codominio ... "
" ... Le funzioni di due variabili si rappresentano nello spazio tridimensionale, il dominio base è situato sul piano $ xy $ ed il codominio sull'asse $ u $ , in quota. Per lo studio di molte questioni è sufficiente rappresentare il solo dominio del piano $ xy $ ."
Quindi, il dominio della funzione ad una variabile è una retta (che rappresenta un intervallo di numeri) e invece il dominio di una funzione a due variabili (indipendenti) è un piano?
Poi continua:
" ... L'insieme generato tramite $ f $ al variare di $ (x,y) $ in $ Ixy $ è detto codominio. Se un insieme non contiene alcun punto della sua frontiera è detto Campo (o aperto), se la contiene tutta è detto Dominio ( o chiuso). ..."
"ccc95":
[quote="gio73"]l insieme R2 come te lo immagini?
Quindi, il dominio della funzione ad una variabile è una retta (che rappresenta un intervallo di numeri) e invece il dominio di una funzione a due variabili (indipendenti) è un piano?
..."[/quote]
Si può rappresentare come un piano, direi di sì.
Ora devi dirmi che cosa significa MASSIMO
Allora, cerco di essere il più esaustivo possibile in modo da chiarirmi ogni dubbio.
Ti ringrazio inoltre per la partecipazione.
Possiamo distinguere diversi casi di minimo e massimo: relativi ed assoluti
a) è un punto di massimo relativo un punto appartenente al dominio della funzione se esiste un intorno tale
che in quel punto la funzione risulti di valore maggiore o uguale che nei punti in un intorno del punto
stesso
b) è un punto di minimo relativo un punto appartenente al dominio della funzione se esiste un intorno tale
che in quel punto la funzione risulti di valore minore o uguale che nei punti in un intorno del punto stesso
c) è un punto di massimo assoluto un punto appartenente al dominio nel quale la funzione assume valore
maggiore o uguale che in tutti i punti appartenenti al dominio della funzione
d) è un punto di minore assoluto un punto appartenente al dominio nel quale la funzione assume valore
minore o uguale che in tutti i punti appartenenti al dominio della funzione
Ti ringrazio inoltre per la partecipazione.
"gio73":
Ora devi dirmi che cosa significa MASSIMO
Possiamo distinguere diversi casi di minimo e massimo: relativi ed assoluti
a) è un punto di massimo relativo un punto appartenente al dominio della funzione se esiste un intorno tale
che in quel punto la funzione risulti di valore maggiore o uguale che nei punti in un intorno del punto
stesso
b) è un punto di minimo relativo un punto appartenente al dominio della funzione se esiste un intorno tale
che in quel punto la funzione risulti di valore minore o uguale che nei punti in un intorno del punto stesso
c) è un punto di massimo assoluto un punto appartenente al dominio nel quale la funzione assume valore
maggiore o uguale che in tutti i punti appartenenti al dominio della funzione
d) è un punto di minore assoluto un punto appartenente al dominio nel quale la funzione assume valore
minore o uguale che in tutti i punti appartenenti al dominio della funzione
Ho chiesto solo MASSIMO
Facciamo un esempio?
La funzione è $f(x)= 2x$ e l'intervallo è $[-3; +10] $
Le parentesi quadre indicano che gli estremi sono inclusi.
Quanto è il massimo?
Facciamo un esempio?
La funzione è $f(x)= 2x$ e l'intervallo è $[-3; +10] $
Le parentesi quadre indicano che gli estremi sono inclusi.
Quanto è il massimo?
Il massimo è $ f(10)=2(10)=20 $ per $ x=10 $
Giusto
Ora andiamo con la funzione seno
$f(x) = sen 2x$ l'intervallo è $(-oo;0]$
Domanda 1
Qual è il suo massimo?
Domanda 2
Quale o quali valori dobbiamo dare a x per ottenere il valore massimo?
Ora andiamo con la funzione seno
$f(x) = sen 2x$ l'intervallo è $(-oo;0]$
Domanda 1
Qual è il suo massimo?
Domanda 2
Quale o quali valori dobbiamo dare a x per ottenere il valore massimo?
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