Ricerca massimi e minimi assoluti
Salve ragazzi ,
visto che tra pochi giorni ho un esame di matematica da affrontare , volevo un vostro aiuto riguardo la ricerca dei massimi e minimi assoluti di questa funzione
f(x)=e^(x/(x+3)^2)
Siccome questa funzione è definita in tutto R \{-3}
i massimi e minimi assoluti non dovrebbero esistere ,giusto?Invece eseguendo la derivata prima della funzione mi trovo che x=3 è un punto di massimo assoluto .Secondo voi è giusto il mio ragionamento?Inoltre x=-3 è un punto di discontinuità eliminabile?Grazie millee
visto che tra pochi giorni ho un esame di matematica da affrontare , volevo un vostro aiuto riguardo la ricerca dei massimi e minimi assoluti di questa funzione
f(x)=e^(x/(x+3)^2)
Siccome questa funzione è definita in tutto R \{-3}
i massimi e minimi assoluti non dovrebbero esistere ,giusto?Invece eseguendo la derivata prima della funzione mi trovo che x=3 è un punto di massimo assoluto .Secondo voi è giusto il mio ragionamento?Inoltre x=-3 è un punto di discontinuità eliminabile?Grazie millee
Risposte
Per determinare estremi assoluti, oltre al calcolo delle derivate devi anche calcolare i limiti e verificare che nessuno di essi risulti infinito, in caso contrario estremi assoluti non ce ne sono e vi sono solo estremi relativi. Puoi vedere da te che
$$\lim_{x\to\pm\infty} e^{x/(x+3)^2}=\lim_{x\to\pm\infty} e^{1/x}=1$$
$$\lim_{x\to -3^\pm} e^{x/(x+3)^2}=0$$
Pertanto, visto che negli altri punti la funzione è continua (e quindi non va a infinito) se esistono degli estremi ce ne saranno certamente di assoluti, mentre se estremi non esistono, al più ci saranno dei sup o degli inf. Per la derivata si ha
$$f'(x)=e^{x/(x+3)^2}\cdot\frac{3-x}{(x+3)^3}$$
e pertanto l'unico punto stazionario è $x=3$. Osservando che in un suo intorno la derivata è negativa a destra e positiva a sinistra, tale punto è un massimo. Poiché inoltre $f(3)=e^{1/{12}}>1$, tale punto risulta un massimo assoluto. Come hai giustamente affermato, $x=-3$ rappresenta una discontinuità di terza specie. Inoltre avrai un'asintoto orizzontale nella retta $y=0$ e tale valore risulta anche l'estremo inferiore della $f$.
$$\lim_{x\to\pm\infty} e^{x/(x+3)^2}=\lim_{x\to\pm\infty} e^{1/x}=1$$
$$\lim_{x\to -3^\pm} e^{x/(x+3)^2}=0$$
Pertanto, visto che negli altri punti la funzione è continua (e quindi non va a infinito) se esistono degli estremi ce ne saranno certamente di assoluti, mentre se estremi non esistono, al più ci saranno dei sup o degli inf. Per la derivata si ha
$$f'(x)=e^{x/(x+3)^2}\cdot\frac{3-x}{(x+3)^3}$$
e pertanto l'unico punto stazionario è $x=3$. Osservando che in un suo intorno la derivata è negativa a destra e positiva a sinistra, tale punto è un massimo. Poiché inoltre $f(3)=e^{1/{12}}>1$, tale punto risulta un massimo assoluto. Come hai giustamente affermato, $x=-3$ rappresenta una discontinuità di terza specie. Inoltre avrai un'asintoto orizzontale nella retta $y=0$ e tale valore risulta anche l'estremo inferiore della $f$.
Grazie per avermi chiarito il dubbio 
, ma non ho capito perchè l'asintoto orizzontale è y=0? 
Non dovrebbe coincidere con y=1 ?
, ma non ho capito perchè l'asintoto orizzontale è y=0? Non dovrebbe coincidere con y=1 ?
Ah sì, scusa, ho fatto un limite e ho preso il risultato dell'altro. Comunque $0$ rimane estremo inferiore.
Esatto .Comunque ottima spiegazione .Grazie di tutto !!! =D
.Comunque ottima spiegazione .Grazie di tutto !!! =D
Prego, figurati!
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