Ricerca estremi relativi di funzione di due variabili
salve
ho un problema
quando il determinante della matrice hessiana è nullo per scoprire se un punto critico è di min, max o pt. sella possiamo
1. o studiare il $ Δf(x,y)=f(x,y)-f(x_0,y_0)$ e studiarne la positività in un intorno del punto critico
2. oppure far passare delle rette o altre curve per il punto
quando la 1. è troppo complicata da calcolare conviene il metodo delle rette ma il mio dubbio è questo
metti caso ho come punto critico $ (0,0) $ e so che lungo l'asse $x$ c'è un minimo in $x=0$ e lungo l'asse $y$ un max in $y=0$
si vede chiaramente che questo è un punto sella
ma se invece su entrambe le rette ci fosse un max ad esempio, ed il punto realmente è un max relativo per $f(x,y)$ come dimostro che lo è effettivamente?
non so se mi sono spiegato bene, cioè il fatto che su due rette abbia lo stesso comportamento non implica che non ci sia un altra curva su cui si comporta in maniera diversa, quindi come si procede??
grazie
ho un problema
quando il determinante della matrice hessiana è nullo per scoprire se un punto critico è di min, max o pt. sella possiamo
1. o studiare il $ Δf(x,y)=f(x,y)-f(x_0,y_0)$ e studiarne la positività in un intorno del punto critico
2. oppure far passare delle rette o altre curve per il punto
quando la 1. è troppo complicata da calcolare conviene il metodo delle rette ma il mio dubbio è questo
metti caso ho come punto critico $ (0,0) $ e so che lungo l'asse $x$ c'è un minimo in $x=0$ e lungo l'asse $y$ un max in $y=0$
si vede chiaramente che questo è un punto sella
ma se invece su entrambe le rette ci fosse un max ad esempio, ed il punto realmente è un max relativo per $f(x,y)$ come dimostro che lo è effettivamente?
non so se mi sono spiegato bene, cioè il fatto che su due rette abbia lo stesso comportamento non implica che non ci sia un altra curva su cui si comporta in maniera diversa, quindi come si procede??
grazie
Risposte
Ciò non significa che il punto sia necessariamente di max(min). Cioè può esserci una "direzione" lungo la quale il punto non è di max(min).
EDIT: se posti un esercizio potremmo aiutarti meglio!
EDIT: se posti un esercizio potremmo aiutarti meglio!
infatti, allora
$f(x,y)=(x^2-y^2)(1-x^2)$
$(0,0)( \pm 1/sqrt(2),0 )(\pm1,1)(\pm1,-1)$ pti. critici
5 di questi risultano facilmente pti. sella
per $( \pm 1/sqrt(2),0 )$ invece il determinante hessiano è nullo
cosi decido di studiare il comportamento lungo le due rette parallele agli assi
$f( 1/sqrt(2),y)$ e $f(x,0)$ e vedo che entrambe hanno un massimo nel punto stabilito
la mia domanda è:
intuitivamente capisco che c'è il massimo ma non essendo certo cosa devo fare più per confermarlo?
$f(x,y)=(x^2-y^2)(1-x^2)$
$(0,0)( \pm 1/sqrt(2),0 )(\pm1,1)(\pm1,-1)$ pti. critici
5 di questi risultano facilmente pti. sella
per $( \pm 1/sqrt(2),0 )$ invece il determinante hessiano è nullo
cosi decido di studiare il comportamento lungo le due rette parallele agli assi
$f( 1/sqrt(2),y)$ e $f(x,0)$ e vedo che entrambe hanno un massimo nel punto stabilito
la mia domanda è:
intuitivamente capisco che c'è il massimo ma non essendo certo cosa devo fare più per confermarlo?
Guarda potresti adoperare un pò tutti i metodi che conosci. Tipo prova a studiare il segno di $f(x,y)-f(x_0,y_0)$ e vedi cosa ti esce poi confrontali oppure, altro metodo che secondo me è il migliore perchè alleni la mente a ragionare in questo modo, cerca di capire come fa la funzione, geometricamente intendo, così la soluzione viene fuori facilmente. Adesso non so dirti con precisione riguardo quella funzione perchè non l ho studiata però lascio a te quest'onore 
Guarda potresti adoperare un pò tutti i metodi che conosci.
essendo alle prime armi vi ho chiesto aiuto proprio per imparare qualche tecnica su come affrontare cose del genere
Tipo prova a studiare il segno di f(x,y)−f(x0,y0) e vedi cosa ti esce
viene
$(y^2-x^2)(x^2-1)>1/4$
che non so studiare
cerca di capire come fa la funzione, geometricamente intendo
si potrebbe ragionare per assurdo ipotizzando che il punto fosse o di min o sella e dimostrare l'assurdo??
Ora che la guardo meglio, la tua funzione è espressa come prodotto di quadrati. Di solito, con funzioni del genere puoi ricondurti alal geometria di un punto di sella. Mi sipego meglio se ti restringi alla parametrizzazione della funzione in questo modo $f(t,0)$ hai $f(t,0)=t^2(1-t^2)$ e se ne studi il segno puoi facilmente ricondurti sia alla geometria della funzione nell'intorno dell'origine sia alla geometria della sella.
non ho ben capito cosa mi hai consigliato, ma comunque non è un punto sella, è un massimo, devo solo dimostrarlo
Infatti, io ti ho detto che l'origine è un punto di sella come hai già detto prima, ora basta sostituire il punto che non riesci a classificare nella funzione che ti ho scritto e vedere se è max o min.
P.S. per avere un riscontro, prova a disegnare la funzione con un programma come derive oppure geogebra o anche wolfram alpha cosicchè tu possa rendertene conto vedendolo.
P.S. per avere un riscontro, prova a disegnare la funzione con un programma come derive oppure geogebra o anche wolfram alpha cosicchè tu possa rendertene conto vedendolo.
inserire il punto nella tua funzione vuol dire in pratica studiare il comportamento lungo l'asse x (dove si trova il punto) e questo lo avevo gia fatto e risulta che è un max
il mio problema è dimostrare che quel punto è realmente un massimo perche il fatto che ci passi una curva sulla quale è un max. non implica che lo sia anche per f(x,y)
il mio problema è dimostrare che quel punto è realmente un massimo perche il fatto che ci passi una curva sulla quale è un max. non implica che lo sia anche per f(x,y)
si infatti è la stessisima cosa. Ti ho spiegato che è una particolarità di queste funzioni, quando hai somme o prodotti di quadrati puoi agire in questo modo perchè una volta dimostrato che l'origine è un punto di sella (cosa che capita spesso, in fondo se ci pensi la tua funzione non è altro che una coppia di parabole messe in modo da formare una sella) a parte gli altri che hai trovato, gli unici punti che ti rimangono necessariamente devono essere di max o min relativo. Per questo puoi restringerti ad uno degli assi. Poi ci sono anche casi particolari (non è il tuo caso) in cui bisogna cercare di capire bene la geometria della funzione. Spero di essermi spiegato
Spero di essermi spiegato
ah ok, quindi se ho ben capito, quando trovo funzioni espresse con somme o prodotti di quadrati esclusa l'origine gli altri punti sono necessariamente max o min??
no! dipende dai casi. Quello chepuoi dire in generale è che sicuramente funzioni di questo tipo hanno un punto di sella perchè puoi vederle come una combinazione appropriata di parabole! Hai seguito il mio consiglio? Hai disegnato il grafico della funzione?
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